题目
2、判断级数 sum _(n=1)^infty dfrac ({2)^n}(n!) 的敛散性.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定级数的通项
级数的通项为 ${u}_{n}=\dfrac {{2}^{n}}{n!}$，其中 $n$ 是正整数。
步骤 2：应用比值判别法
比值判别法是判断级数敛散性的一种方法，其核心是计算相邻两项的比值的极限。对于级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_{n}$，如果 $\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {{u}_{n+1}}{{u}_{n}}=L$，则当 $L<1$ 时，级数收敛；当 $L>1$ 时，级数发散；当 $L=1$ 时，比值判别法失效。
计算相邻两项的比值：
$\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {{u}_{n+1}}{{u}_{n}}=\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {\dfrac {{2}^{n+1}}{(n+1)!}}{\dfrac {{2}^{n}}{n!}}=\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {{2}^{n+1}n!}{{2}^{n}(n+1)!}=\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {2}{n+1}$
步骤 3：计算极限
计算上述极限：
$\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {2}{n+1}=0$
因为 $0<1$，所以根据比值判别法，级数收敛。
级数的通项为 ${u}_{n}=\dfrac {{2}^{n}}{n!}$，其中 $n$ 是正整数。
步骤 2：应用比值判别法
比值判别法是判断级数敛散性的一种方法，其核心是计算相邻两项的比值的极限。对于级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_{n}$，如果 $\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {{u}_{n+1}}{{u}_{n}}=L$，则当 $L<1$ 时，级数收敛；当 $L>1$ 时，级数发散；当 $L=1$ 时，比值判别法失效。
计算相邻两项的比值：
$\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {{u}_{n+1}}{{u}_{n}}=\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {\dfrac {{2}^{n+1}}{(n+1)!}}{\dfrac {{2}^{n}}{n!}}=\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {{2}^{n+1}n!}{{2}^{n}(n+1)!}=\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {2}{n+1}$
步骤 3：计算极限
计算上述极限：
$\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {2}{n+1}=0$
因为 $0<1$，所以根据比值判别法，级数收敛。