题目
6.极限 lim _(xarrow infty )(x+3)sin dfrac (4)(x) 的值是-|||-A.3 B.4 C.12
题目解答
答案
解析
步骤 1：代换变量
令 $t = \dfrac{1}{x}$，则当 $x \rightarrow \infty$ 时，$t \rightarrow 0$。原极限可以写为 $\lim _{t\rightarrow 0} \dfrac{1}{t} \left(\dfrac{1}{t} + 3\right) \sin 4t$。
步骤 2：化简表达式
化简得到 $\lim _{t\rightarrow 0} \dfrac{1}{t} \left(\dfrac{1}{t} + 3\right) \sin 4t = \lim _{t\rightarrow 0} \dfrac{1 + 3t}{t} \sin 4t$。
步骤 3：应用极限性质
利用 $\lim _{t\rightarrow 0} \dfrac{\sin 4t}{4t} = 1$，得到 $\lim _{t\rightarrow 0} \dfrac{1 + 3t}{t} \sin 4t = \lim _{t\rightarrow 0} \dfrac{1 + 3t}{t} \cdot 4t = \lim _{t\rightarrow 0} 4(1 + 3t) = 4$。
令 $t = \dfrac{1}{x}$，则当 $x \rightarrow \infty$ 时，$t \rightarrow 0$。原极限可以写为 $\lim _{t\rightarrow 0} \dfrac{1}{t} \left(\dfrac{1}{t} + 3\right) \sin 4t$。
步骤 2：化简表达式
化简得到 $\lim _{t\rightarrow 0} \dfrac{1}{t} \left(\dfrac{1}{t} + 3\right) \sin 4t = \lim _{t\rightarrow 0} \dfrac{1 + 3t}{t} \sin 4t$。
步骤 3：应用极限性质
利用 $\lim _{t\rightarrow 0} \dfrac{\sin 4t}{4t} = 1$，得到 $\lim _{t\rightarrow 0} \dfrac{1 + 3t}{t} \sin 4t = \lim _{t\rightarrow 0} \dfrac{1 + 3t}{t} \cdot 4t = \lim _{t\rightarrow 0} 4(1 + 3t) = 4$。