题目
设随机变量 X 在区间 (0,1) 上服从均匀分布，在 X=x(0<x<1) 的条件下，随机变量 Y 在区间 (0,x) 上服从均匀分布，求： ( Ⅰ ) 随机变量 X 和 Y 的联合概率密度； ( Ⅱ )Y 的概率密度； ( Ⅲ ) 概率 P(X+Y>1).
设随机变量
题目解答
答案
（1）
∵X在区间（0，1）上服从均匀分布，
∴X的概率密度函数为：fX(x)=
| |
|
又在X=x（0＜x＜1）的条件下，Y在区间（0，x）上服从均匀分布，
从而，随机变量Y的条件概率密度为：
fY|X（y|x）=
| f(x，y) |
| fX(x) |
| |
|
则随机变量X和Y的联合概率密度为：
f(x，y)=
| |
|
（Ⅱ）
①当0＜y＜1时，
Y的概率密度为：
fY(y)=
| ∫ | +∞ -∞ |
| ∫ | 1 y |
| 1 |
| x |
②当y≤0或y≥1时，
由于f（x，y）=0，则：fY（y）=0，
从而，Y的概率密度为：
fY(y)=
| |
|
（Ⅲ）
由（Ⅰ）知，随机变量X和Y的联合概率密度为：
f(x，y)=
| |
|
∴P{X+Y＞1}=
| ∫∫ |
| X+Y＞1 |
| ∫ | 1
|
| ∫ | x 1-x |
| 1 |
| x |
| ∫ | 1
|
| 1 |
| x |
解析
步骤 1：求随机变量 X 和 Y 的联合概率密度
由于 X 在区间 (0,1) 上服从均匀分布，其概率密度函数为：
\[ f_X(x) = \begin{cases}
1, & 0 < x < 1 \\
0, & \text{其它}
\end{cases} \]
在 X=x(0\[ f_{Y|X}(y|x) = \begin{cases}
\frac{1}{x}, & 0 < y < x \\
0, & \text{其它}
\end{cases} \]
因此，随机变量 X 和 Y 的联合概率密度为：
\[ f(x,y) = f_X(x) \cdot f_{Y|X}(y|x) = \begin{cases}
\frac{1}{x}, & 0 < y < x < 1 \\
0, & \text{其它}
\end{cases} \]
步骤 2：求 Y 的概率密度
Y 的概率密度为：
\[ f_Y(y) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) dx \]
当 0 < y < 1 时，有：
\[ f_Y(y) = \int_{y}^{1} \frac{1}{x} dx = -\ln y \]
当 y ≤ 0 或 y ≥ 1 时，f(x,y) = 0，因此 f_Y(y) = 0。
所以，Y 的概率密度为：
\[ f_Y(y) = \begin{cases}
-\ln y, & 0 < y < 1 \\
0, & \text{其它}
\end{cases} \]
步骤 3：求概率 P{X+Y>1}
\[ P\{X+Y>1\} = \int_{0}^{1} \int_{1-x}^{x} f(x,y) dy dx = \int_{0}^{1} \int_{1-x}^{x} \frac{1}{x} dy dx \]
\[ = \int_{0}^{1} \frac{1}{x} (x - (1-x)) dx = \int_{0}^{1} (2 - \frac{1}{x}) dx = 1 - \ln 2 \]
由于 X 在区间 (0,1) 上服从均匀分布，其概率密度函数为：
\[ f_X(x) = \begin{cases}
1, & 0 < x < 1 \\
0, & \text{其它}
\end{cases} \]
在 X=x(0
\frac{1}{x}, & 0 < y < x \\
0, & \text{其它}
\end{cases} \]
因此，随机变量 X 和 Y 的联合概率密度为：
\[ f(x,y) = f_X(x) \cdot f_{Y|X}(y|x) = \begin{cases}
\frac{1}{x}, & 0 < y < x < 1 \\
0, & \text{其它}
\end{cases} \]
步骤 2：求 Y 的概率密度
Y 的概率密度为：
\[ f_Y(y) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) dx \]
当 0 < y < 1 时，有：
\[ f_Y(y) = \int_{y}^{1} \frac{1}{x} dx = -\ln y \]
当 y ≤ 0 或 y ≥ 1 时，f(x,y) = 0，因此 f_Y(y) = 0。
所以，Y 的概率密度为：
\[ f_Y(y) = \begin{cases}
-\ln y, & 0 < y < 1 \\
0, & \text{其它}
\end{cases} \]
步骤 3：求概率 P{X+Y>1}
\[ P\{X+Y>1\} = \int_{0}^{1} \int_{1-x}^{x} f(x,y) dy dx = \int_{0}^{1} \int_{1-x}^{x} \frac{1}{x} dy dx \]
\[ = \int_{0}^{1} \frac{1}{x} (x - (1-x)) dx = \int_{0}^{1} (2 - \frac{1}{x}) dx = 1 - \ln 2 \]