题目
6.设随机变量X的概率密度为-|||-f(x)= ) 3(x)^2,0lt xlt 1 0, .-|||-求:(1)E(X);(2)D (X).
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算期望E(X)
期望E(X)的计算公式为：$E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx$。对于给定的概率密度函数$f(x) = 3x^2$，$0 < x < 1$，我们有：
$E(X) = \int_{0}^{1} x \cdot 3x^2 dx = 3\int_{0}^{1} x^3 dx = 3\left[\frac{x^4}{4}\right]_{0}^{1} = 3\left(\frac{1}{4} - 0\right) = \frac{3}{4}$。
步骤 2：计算方差D(X)
方差D(X)的计算公式为：$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$。首先，我们需要计算$E(X^2)$，其计算公式为：$E(X^2) = \int_{-\infty}^{\infty} x^2 f(x) dx$。对于给定的概率密度函数$f(x) = 3x^2$，$0 < x < 1$，我们有：
$E(X^2) = \int_{0}^{1} x^2 \cdot 3x^2 dx = 3\int_{0}^{1} x^4 dx = 3\left[\frac{x^5}{5}\right]_{0}^{1} = 3\left(\frac{1}{5} - 0\right) = \frac{3}{5}$。
然后，根据方差的定义，我们有：
$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{3}{5} - \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{3}{5} - \frac{9}{16} = \frac{48}{80} - \frac{45}{80} = \frac{3}{80}$。
期望E(X)的计算公式为：$E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx$。对于给定的概率密度函数$f(x) = 3x^2$，$0 < x < 1$，我们有：
$E(X) = \int_{0}^{1} x \cdot 3x^2 dx = 3\int_{0}^{1} x^3 dx = 3\left[\frac{x^4}{4}\right]_{0}^{1} = 3\left(\frac{1}{4} - 0\right) = \frac{3}{4}$。
步骤 2：计算方差D(X)
方差D(X)的计算公式为：$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$。首先，我们需要计算$E(X^2)$，其计算公式为：$E(X^2) = \int_{-\infty}^{\infty} x^2 f(x) dx$。对于给定的概率密度函数$f(x) = 3x^2$，$0 < x < 1$，我们有：
$E(X^2) = \int_{0}^{1} x^2 \cdot 3x^2 dx = 3\int_{0}^{1} x^4 dx = 3\left[\frac{x^5}{5}\right]_{0}^{1} = 3\left(\frac{1}{5} - 0\right) = \frac{3}{5}$。
然后，根据方差的定义，我们有：
$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{3}{5} - \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{3}{5} - \frac{9}{16} = \frac{48}{80} - \frac{45}{80} = \frac{3}{80}$。