题目
[题目]已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连-|||-续,且 lim _(xarrow 0)dfrac (f(x,y)-xy)({({x)^2+(y)^2)}^2}=1, 则 ()-|||-A.点(0,0)不是f(x y)的极值点-|||-B.点(0,0)是f(x,y)的极大值点-|||-C.点(0,0)是f(x,y)的极小值点-|||-D.根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极-|||-值点
题目解答
答案
解析
步骤 1：分析极限条件
由 $\lim _{x\rightarrow 0}y=\dfrac {f(x,y)-xy}{{({x}^{2}+{y}^{2})}^{2}}=1$ 知，分母的极限趋于0，故分子的极限必为零，从而有 $f(0,0)=0$。
步骤 2：确定函数的近似表达式
因为极限等于1，故 $f(x,y)-xy\sim {({x}^{2}+{y}^{2})}^{2}$（当|x|,|y|充分小时），于是 $f(x,y)\sim xy+{({x}^{2}+{y}^{2})}^{2}$。
步骤 3：判断极值点
因为 $f(0,0)=0$，所以 $f(x,y)-f(0,0)\sim xy+{({x}^{2}+{y}^{2})}^{2}$。可见当 $y=x$ 且|x|充分小时，$f(x,y)-f(0,0)\approx {x}^{2}+4{x}^{4}\gt 0$；而当 $y=-x$ 且|x|充分小时，$f(x,y)-f(0,0)\approx -{x}^{2}+4{x}^{4}\lt 0$。故点(0,0)不是f(x,y)的极值点。
由 $\lim _{x\rightarrow 0}y=\dfrac {f(x,y)-xy}{{({x}^{2}+{y}^{2})}^{2}}=1$ 知，分母的极限趋于0，故分子的极限必为零，从而有 $f(0,0)=0$。
步骤 2：确定函数的近似表达式
因为极限等于1，故 $f(x,y)-xy\sim {({x}^{2}+{y}^{2})}^{2}$（当|x|,|y|充分小时），于是 $f(x,y)\sim xy+{({x}^{2}+{y}^{2})}^{2}$。
步骤 3：判断极值点
因为 $f(0,0)=0$，所以 $f(x,y)-f(0,0)\sim xy+{({x}^{2}+{y}^{2})}^{2}$。可见当 $y=x$ 且|x|充分小时，$f(x,y)-f(0,0)\approx {x}^{2}+4{x}^{4}\gt 0$；而当 $y=-x$ 且|x|充分小时，$f(x,y)-f(0,0)\approx -{x}^{2}+4{x}^{4}\lt 0$。故点(0,0)不是f(x,y)的极值点。