题目
3.设E_(3)是函数y=}sin(1)/(x),&当xneq0,0,&当x=0的图形上的点所组成的集合，求在R^2内的E_(3)^prime,dot(E)_(3),overline(E_{3)}.
3.设$E_{3}$是函数
$y=\begin{cases}\sin\frac{1}{x},&当x\neq0,\\0,&当x=0\end{cases}$
的图形上的点所组成的集合，求在$R^{2}$内的$E_{3}^{\prime},\dot{E}_{3},\overline{E_{3}}.$
题目解答
答案
1. **导集 $ E_3' $**：
对于 $ x \neq 0 $，点 $ (x, \sin \frac{1}{x}) $ 是孤立点。
对于 $ x = 0 $，任意邻域内包含无限个 $ (x, \sin \frac{1}{x}) $ 点（$ \sin \frac{1}{x} $ 在 $[-1, 1]$ 振荡），故 $ (0, y) $（$ y \in [-1, 1] $）为聚点。
**答案**：$ E_3' = \{ (0, y) \mid y \in [-1, 1] \} $
2. **闭包 $ \overline{E_3} $**：
$ \overline{E_3} = E_3 \cup E_3' $，包含原集合及导集。
**答案**：$ \overline{E_3} = \{ (x, \sin \frac{1}{x}) \mid x \neq 0 \} \cup \{ (0, y) \mid y \in [-1, 1] \} $
3. **内核 $ E_3^\circ $**：
任意点的邻域内均含非 $ E_3 $ 点，无内点。
**答案**：$ E_3^\circ = \emptyset $
\[
\boxed{
E_3' = \{ (0, y) \mid y \in [-1, 1] \}, \quad
\overline{E_3} = \{ (x, \sin \frac{1}{x}) \mid x \neq 0 \} \cup \{ (0, y) \mid y \in [-1, 1] \}, \quad
E_3^\circ = \emptyset
}
\]