题目
7.如果f(z)在区域D内解析,试证i (f(z)) 在区域D内也解析.
7.如果f(z)在区域D内解析,试证i (f(z)) 在区域D内也解析.
题目解答
答案
答案:见解析.解析:正,则:OE→f(ξ)=u(x,y)+i=v(x,y) v=√(18)=(i(1-a))=(n(n-1))=i(-1,y_i)=v(x-y)-i=y_i ∴∵ u_xx=Vy. u_y=-V_O f)解析,故,.V_X=l_Cu^g=-u_y 若使f(3)解析,只需,Vy=—(—)x=u_x i=f(2)这然可以成立,因此在区域D内解析.知点:本题考解析数的相关性质
解析
步骤 1：定义解析函数
解析函数是指在复平面上某区域内，函数的导数存在且连续。如果函数f(z)在区域D内解析，那么f(z)在D内满足柯西-黎曼方程，即：
\[ u_x = v_y \]
\[ u_y = -v_x \]
其中，\( f(z) = u(x, y) + iv(x, y) \)，\( z = x + iy \)。
步骤 2：考虑函数i(f(z))
考虑函数 \( g(z) = i \cdot f(z) \)，则有：
\[ g(z) = i \cdot (u(x, y) + iv(x, y)) = -v(x, y) + iu(x, y) \]
令 \( g(z) = U(x, y) + iV(x, y) \)，则：
\[ U(x, y) = -v(x, y) \]
\[ V(x, y) = u(x, y) \]
步骤 3：验证柯西-黎曼方程
为了证明 \( g(z) \) 在区域D内解析，需要验证 \( g(z) \) 满足柯西-黎曼方程：
\[ U_x = V_y \]
\[ U_y = -V_x \]
根据 \( U(x, y) = -v(x, y) \) 和 \( V(x, y) = u(x, y) \)，有：
\[ U_x = -v_x \]
\[ U_y = -v_y \]
\[ V_x = u_x \]
\[ V_y = u_y \]
因此：
\[ U_x = -v_x = u_y = V_y \]
\[ U_y = -v_y = -u_x = -V_x \]
所以，\( g(z) \) 满足柯西-黎曼方程，从而在区域D内解析。
解析函数是指在复平面上某区域内，函数的导数存在且连续。如果函数f(z)在区域D内解析，那么f(z)在D内满足柯西-黎曼方程，即：
\[ u_x = v_y \]
\[ u_y = -v_x \]
其中，\( f(z) = u(x, y) + iv(x, y) \)，\( z = x + iy \)。
步骤 2：考虑函数i(f(z))
考虑函数 \( g(z) = i \cdot f(z) \)，则有：
\[ g(z) = i \cdot (u(x, y) + iv(x, y)) = -v(x, y) + iu(x, y) \]
令 \( g(z) = U(x, y) + iV(x, y) \)，则：
\[ U(x, y) = -v(x, y) \]
\[ V(x, y) = u(x, y) \]
步骤 3：验证柯西-黎曼方程
为了证明 \( g(z) \) 在区域D内解析，需要验证 \( g(z) \) 满足柯西-黎曼方程：
\[ U_x = V_y \]
\[ U_y = -V_x \]
根据 \( U(x, y) = -v(x, y) \) 和 \( V(x, y) = u(x, y) \)，有：
\[ U_x = -v_x \]
\[ U_y = -v_y \]
\[ V_x = u_x \]
\[ V_y = u_y \]
因此：
\[ U_x = -v_x = u_y = V_y \]
\[ U_y = -v_y = -u_x = -V_x \]
所以，\( g(z) \) 满足柯西-黎曼方程，从而在区域D内解析。