题目
【例9】 (2015年考研数二)下列反常积分收敛的是 () .-|||-(A) (int )_(2)^+infty dfrac (1)(sqrt {x)}dx (B) (int )_(2)^+infty dfrac (ln x)(x)dx (C) (int )_(2)^+infty dfrac (1)(xln x)dx (D) (int )_(2)^+infty dfrac (x)({e)^x}dx
题目解答
答案
解析
步骤 1：分析选项 (A)
${\int }_{2}^{+\infty }\dfrac {1}{\sqrt {x}}dx$ 是一个反常积分，我们可以通过计算其不定积分来判断其收敛性。
不定积分 $\int \dfrac {1}{\sqrt {x}}dx = 2\sqrt {x} + C$，因此 ${\int }_{2}^{+\infty }\dfrac {1}{\sqrt {x}}dx = \lim _{b\rightarrow +\infty }2\sqrt {b} - 2\sqrt {2}$，显然这个极限是发散的，因为 $\lim _{b\rightarrow +\infty }2\sqrt {b} = +\infty$。
步骤 2：分析选项 (B)
${\int }_{2}^{+\infty }\dfrac {\ln x}{x}dx$ 同样是一个反常积分，我们可以通过计算其不定积分来判断其收敛性。
不定积分 $\int \dfrac {\ln x}{x}dx = \dfrac {1}{2}(\ln x)^{2} + C$，因此 ${\int }_{2}^{+\infty }\dfrac {\ln x}{x}dx = \lim _{b\rightarrow +\infty }\dfrac {1}{2}(\ln b)^{2} - \dfrac {1}{2}(\ln 2)^{2}$，显然这个极限也是发散的，因为 $\lim _{b\rightarrow +\infty }\dfrac {1}{2}(\ln b)^{2} = +\infty$。
步骤 3：分析选项 (C)
${\int }_{2}^{+\infty }\dfrac {1}{x\ln x}dx$ 同样是一个反常积分，我们可以通过计算其不定积分来判断其收敛性。
不定积分 $\int \dfrac {1}{x\ln x}dx = \ln |\ln x| + C$，因此 ${\int }_{2}^{+\infty }\dfrac {1}{x\ln x}dx = \lim _{b\rightarrow +\infty }\ln |\ln b| - \ln |\ln 2|$，显然这个极限也是发散的，因为 $\lim _{b\rightarrow +\infty }\ln |\ln b| = +\infty$。
步骤 4：分析选项 (D)
${\int }_{2}^{+\infty }\dfrac {x}{{e}^{x}}dx$ 同样是一个反常积分，我们可以通过计算其不定积分来判断其收敛性。
不定积分 $\int \dfrac {x}{{e}^{x}}dx = -(x+1){e}^{-x} + C$，因此 ${\int }_{2}^{+\infty }\dfrac {x}{{e}^{x}}dx = \lim _{b\rightarrow +\infty }-(b+1){e}^{-b} + 3{e}^{-2}$，显然这个极限是收敛的，因为 $\lim _{b\rightarrow +\infty }-(b+1){e}^{-b} = 0$。
${\int }_{2}^{+\infty }\dfrac {1}{\sqrt {x}}dx$ 是一个反常积分，我们可以通过计算其不定积分来判断其收敛性。
不定积分 $\int \dfrac {1}{\sqrt {x}}dx = 2\sqrt {x} + C$，因此 ${\int }_{2}^{+\infty }\dfrac {1}{\sqrt {x}}dx = \lim _{b\rightarrow +\infty }2\sqrt {b} - 2\sqrt {2}$，显然这个极限是发散的，因为 $\lim _{b\rightarrow +\infty }2\sqrt {b} = +\infty$。
步骤 2：分析选项 (B)
${\int }_{2}^{+\infty }\dfrac {\ln x}{x}dx$ 同样是一个反常积分，我们可以通过计算其不定积分来判断其收敛性。
不定积分 $\int \dfrac {\ln x}{x}dx = \dfrac {1}{2}(\ln x)^{2} + C$，因此 ${\int }_{2}^{+\infty }\dfrac {\ln x}{x}dx = \lim _{b\rightarrow +\infty }\dfrac {1}{2}(\ln b)^{2} - \dfrac {1}{2}(\ln 2)^{2}$，显然这个极限也是发散的，因为 $\lim _{b\rightarrow +\infty }\dfrac {1}{2}(\ln b)^{2} = +\infty$。
步骤 3：分析选项 (C)
${\int }_{2}^{+\infty }\dfrac {1}{x\ln x}dx$ 同样是一个反常积分，我们可以通过计算其不定积分来判断其收敛性。
不定积分 $\int \dfrac {1}{x\ln x}dx = \ln |\ln x| + C$，因此 ${\int }_{2}^{+\infty }\dfrac {1}{x\ln x}dx = \lim _{b\rightarrow +\infty }\ln |\ln b| - \ln |\ln 2|$，显然这个极限也是发散的，因为 $\lim _{b\rightarrow +\infty }\ln |\ln b| = +\infty$。
步骤 4：分析选项 (D)
${\int }_{2}^{+\infty }\dfrac {x}{{e}^{x}}dx$ 同样是一个反常积分，我们可以通过计算其不定积分来判断其收敛性。
不定积分 $\int \dfrac {x}{{e}^{x}}dx = -(x+1){e}^{-x} + C$，因此 ${\int }_{2}^{+\infty }\dfrac {x}{{e}^{x}}dx = \lim _{b\rightarrow +\infty }-(b+1){e}^{-b} + 3{e}^{-2}$，显然这个极限是收敛的，因为 $\lim _{b\rightarrow +\infty }-(b+1){e}^{-b} = 0$。