题目
(1)已知 (x+dfrac (1)(x))=(x)^2+dfrac (1)({x)^2}, 则 f(x)= __ ;
题目解答
答案
解析
步骤 1：观察函数形式
观察给定的函数 $f(x+\dfrac {1}{x})={x}^{2}+\dfrac {1}{{x}^{2}}$，我们注意到右侧可以被重写为 $(x+\dfrac {1}{x})^2 - 2$，因为 $(x+\dfrac {1}{x})^2 = x^2 + 2\cdot x\cdot \dfrac {1}{x} + \dfrac {1}{x^2} = x^2 + 2 + \dfrac {1}{x^2}$，所以 $x^2 + \dfrac {1}{x^2} = (x+\dfrac {1}{x})^2 - 2$。
步骤 2：替换变量
将 $x+\dfrac {1}{x}$ 替换为 $t$，则有 $f(t) = t^2 - 2$。这一步是将原函数中的变量替换为一个新的变量，以便于我们直接写出 $f(x)$ 的形式。
步骤 3：确定定义域
由于 $x+\dfrac {1}{x}$ 的值域是 $(-\infty, -2] \cup [2, +\infty)$，因此 $f(x)$ 的定义域也是 $(-\infty, -2] \cup [2, +\infty)$。这是因为 $x+\dfrac {1}{x}$ 的值不可能在 $(-2, 2)$ 之间，因为当 $x>0$ 时，$x+\dfrac {1}{x} \geq 2$，当 $x<0$ 时，$x+\dfrac {1}{x} \leq -2$。
观察给定的函数 $f(x+\dfrac {1}{x})={x}^{2}+\dfrac {1}{{x}^{2}}$，我们注意到右侧可以被重写为 $(x+\dfrac {1}{x})^2 - 2$，因为 $(x+\dfrac {1}{x})^2 = x^2 + 2\cdot x\cdot \dfrac {1}{x} + \dfrac {1}{x^2} = x^2 + 2 + \dfrac {1}{x^2}$，所以 $x^2 + \dfrac {1}{x^2} = (x+\dfrac {1}{x})^2 - 2$。
步骤 2：替换变量
将 $x+\dfrac {1}{x}$ 替换为 $t$，则有 $f(t) = t^2 - 2$。这一步是将原函数中的变量替换为一个新的变量，以便于我们直接写出 $f(x)$ 的形式。
步骤 3：确定定义域
由于 $x+\dfrac {1}{x}$ 的值域是 $(-\infty, -2] \cup [2, +\infty)$，因此 $f(x)$ 的定义域也是 $(-\infty, -2] \cup [2, +\infty)$。这是因为 $x+\dfrac {1}{x}$ 的值不可能在 $(-2, 2)$ 之间，因为当 $x>0$ 时，$x+\dfrac {1}{x} \geq 2$，当 $x<0$ 时，$x+\dfrac {1}{x} \leq -2$。