题目
【单选题】若两两相互独立的三个事件 A, B,C 满足条件:ABC =Φ,P(A) =P(B) = P(C)A. 1/3B. 1/4C. 1/5D. 1/6
【单选题】若两两相互独立的三个事件 A, B,C 满足条件:ABC =Φ,P(A) =P(B) = P(C)<1/2,P(A∪B∪C)=9/16. 则:P(A)=()
A. 1/3
B. 1/4
C. 1/5
D. 1/6
题目解答
答案
B. 1/4
解析
步骤 1：理解事件的独立性和互斥性
事件A、B、C两两相互独立，意味着P(AB) = P(A)P(B)，P(AC) = P(A)P(C)，P(BC) = P(B)P(C)。同时，ABC = Φ，意味着事件A、B、C不能同时发生，即P(ABC) = 0。
步骤 2：应用概率公式
根据概率的加法公式，对于三个事件A、B、C，有：
P(A∪B∪C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(AC) - P(BC) + P(ABC)
由于ABC = Φ，所以P(ABC) = 0，代入公式得：
P(A∪B∪C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(AC) - P(BC)
由于A、B、C两两独立，所以P(AB) = P(A)P(B)，P(AC) = P(A)P(C)，P(BC) = P(B)P(C)，代入公式得：
P(A∪B∪C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A)P(B) - P(A)P(C) - P(B)P(C)
步骤 3：代入已知条件求解
已知P(A) = P(B) = P(C) = p，P(A∪B∪C) = 9/16，代入公式得：
9/16 = p + p + p - p^2 - p^2 - p^2
化简得：
9/16 = 3p - 3p^2
整理得：
3p^2 - 3p + 9/16 = 0
化简得：
16p^2 - 16p + 3 = 0
解得：
p = 1/4 或 p = 3/4
由于P(A) = P(B) = P(C) < 1/2，所以p = 1/4。
事件A、B、C两两相互独立，意味着P(AB) = P(A)P(B)，P(AC) = P(A)P(C)，P(BC) = P(B)P(C)。同时，ABC = Φ，意味着事件A、B、C不能同时发生，即P(ABC) = 0。
步骤 2：应用概率公式
根据概率的加法公式，对于三个事件A、B、C，有：
P(A∪B∪C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(AC) - P(BC) + P(ABC)
由于ABC = Φ，所以P(ABC) = 0，代入公式得：
P(A∪B∪C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(AC) - P(BC)
由于A、B、C两两独立，所以P(AB) = P(A)P(B)，P(AC) = P(A)P(C)，P(BC) = P(B)P(C)，代入公式得：
P(A∪B∪C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A)P(B) - P(A)P(C) - P(B)P(C)
步骤 3：代入已知条件求解
已知P(A) = P(B) = P(C) = p，P(A∪B∪C) = 9/16，代入公式得：
9/16 = p + p + p - p^2 - p^2 - p^2
化简得：
9/16 = 3p - 3p^2
整理得：
3p^2 - 3p + 9/16 = 0
化简得：
16p^2 - 16p + 3 = 0
解得：
p = 1/4 或 p = 3/4
由于P(A) = P(B) = P(C) < 1/2，所以p = 1/4。