设times 3为全体对称矩阵做成的数域P上的线性空间,求times 3的一组基和维数。

步骤 1：定义对称矩阵
对称矩阵是指一个矩阵等于其转置矩阵，即$A=A^T$。对于$3\times 3$的矩阵，对称矩阵的形式为：
$$
A=\left (\begin{matrix} a& b& c\\ b& d& e\\ c& e& f\end{matrix} ) \right.
$$
其中$a,b,c,d,e,f$为数域P中的元素。

步骤 2：确定基
为了找到$P3\times 3$的一组基，我们需要找到一组线性无关的对称矩阵，使得$P3\times 3$中的任意对称矩阵都可以由这组基的线性组合表示。考虑以下六个矩阵：
$$
{E}_{1}=\left (\begin{matrix} 1& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{matrix} ) \right., {E}_{2}=\left (\begin{matrix} 0& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 0\end{matrix} ) \right., {E}_{3}=\left (\begin{matrix} 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{matrix} ) \right.,
$$
$$
{E}_{4}=\left (\begin{matrix} 0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{matrix} ) \right., {E}_{5}=\left (\begin{matrix} 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ 1& 0& 0\end{matrix} ) \right., {E}_{6}=\left (\begin{matrix} 0& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{matrix} ) \right.
$$
这六个矩阵是线性无关的，因为只有当${k}_{1}={k}_{2}=\cdots ={k}_{6}=0$时，才有${k}_{1}{E}_{1}+{k}_{2}{E}_{2}+\cdots +{k}_{6}{E}_{6}=0$。同时，任意$3\times 3$的对称矩阵都可以表示为这六个矩阵的线性组合。

步骤 3：确定维数
由于我们找到了六个线性无关的对称矩阵，所以$P3\times 3$的维数为6。