.3 求方阵A= (} 3& 1& 0 -4& -1& 0 4& -8& -2 ) . 的特征值和特征向量.

步骤 1：计算特征多项式
为了求解矩阵A的特征值，我们需要计算矩阵A的特征多项式。特征多项式是通过计算矩阵A减去λI的行列式得到的，其中I是单位矩阵，λ是特征值。对于给定的矩阵A，我们有：
\[ |λI - A| = \left |\begin{matrix} λ - 3 & -1 & 0 \\ 4 & λ + 1 & 0 \\ -4 & 8 & λ + 2 \end{matrix} \right | \]

步骤 2：求解特征值
计算上述行列式，我们得到：
\[ |λI - A| = (λ + 2)(λ - 1)^2 = 0 \]
解这个方程，我们得到矩阵A的特征值为：
\[ λ_1 = λ_2 = 1, λ_3 = -2 \]

步骤 3：求解特征向量
对于每个特征值，我们需要求解方程组 $(λI - A)X = 0$ 来找到对应的特征向量。
- 当 $λ_1 = λ_2 = 1$ 时，解方程组 $(I - A)X = 0$，即：
\[ \left |\begin{matrix} -2 & -1 & 0 \\ 4 & 2 & 0 \\ -4 & 8 & 3 \end{matrix} \right | \left |\begin{matrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{matrix} \right | = \left |\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right | \]
解得基础解系为 $X_1 = (3, -6, 20)^T$，对应的特征向量为 $k_1X_1 = k_1(3, -6, 20)^T$，其中 $k_1 \neq 0$。
- 当 $λ_3 = -2$ 时，解方程组 $(-2I - A)X = 0$，即：
\[ \left |\begin{matrix} -5 & -1 & 0 \\ 4 & 1 & 0 \\ -4 & 8 & 0 \end{matrix} \right | \left |\begin{matrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{matrix} \right | = \left |\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right | \]
解得基础解系为 $X_2 = (0, 0, 1)^T$，对应的特征向量为 $k_2X_2 = k_2(0, 0, 1)^T$，其中 $k_2 \neq 0$。