题目
[题目]-|||-证明:当 lt xlt dfrac (pi )(2) 时, sin x+tan xgt 2x
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义函数
定义函数 $f(x)=\sin x+\tan x-2x$，我们需要证明在区间 $(0,\frac{\pi}{2})$ 上，$f(x) > 0$。
步骤 2：求导数
计算 $f(x)$ 的导数 $f'(x)$，得到 $f'(x)=\cos x + \sec^2 x - 2$。
步骤 3：分析导数
由于 $0 < x < \frac{\pi}{2}$，则 $\cos x$ 和 $\sec^2 x$ 都是正数，且 $\sec^2 x = 1 + \tan^2 x > 1$。因此，$f'(x) > 0$，说明 $f(x)$ 在 $(0,\frac{\pi}{2})$ 上是增函数。
步骤 4：验证初始条件
计算 $f(0)$，得到 $f(0) = \sin 0 + \tan 0 - 2 \times 0 = 0$。由于 $f(x)$ 在 $(0,\frac{\pi}{2})$ 上是增函数，且 $f(0) = 0$，则在 $(0,\frac{\pi}{2})$ 上，$f(x) > 0$。
定义函数 $f(x)=\sin x+\tan x-2x$，我们需要证明在区间 $(0,\frac{\pi}{2})$ 上，$f(x) > 0$。
步骤 2：求导数
计算 $f(x)$ 的导数 $f'(x)$，得到 $f'(x)=\cos x + \sec^2 x - 2$。
步骤 3：分析导数
由于 $0 < x < \frac{\pi}{2}$，则 $\cos x$ 和 $\sec^2 x$ 都是正数，且 $\sec^2 x = 1 + \tan^2 x > 1$。因此，$f'(x) > 0$，说明 $f(x)$ 在 $(0,\frac{\pi}{2})$ 上是增函数。
步骤 4：验证初始条件
计算 $f(0)$，得到 $f(0) = \sin 0 + \tan 0 - 2 \times 0 = 0$。由于 $f(x)$ 在 $(0,\frac{\pi}{2})$ 上是增函数，且 $f(0) = 0$，则在 $(0,\frac{\pi}{2})$ 上，$f(x) > 0$。