[题目]-|||-证明:当 lt xlt dfrac (pi )(2) 时, sin x+tan xgt 2x

考查要点：本题主要考查利用导数证明不等式的方法，涉及函数单调性的判断及初始条件的应用。

解题核心思路：

1. 构造辅助函数：将不等式转化为函数形式，便于分析其单调性。
2. 求导分析单调性：通过计算导数，判断函数在区间内的增减趋势。
3. 结合初始条件：利用函数在端点处的值，结合单调性得出整体结论。

破题关键点：

• 正确计算导数：注意三角函数的导数公式，尤其是$\tan x$的导数为$\sec^2 x$。
• 分析导数的符号：通过变量代换或不等式变形，证明导数在区间内始终为正，从而确定函数单调递增。

步骤1：构造辅助函数
定义函数$f(x) = \sin x + \tan x - 2x$，需证明当$0 < x < \dfrac{\pi}{2}$时，$f(x) > 0$。

步骤2：计算导数
求导得：
$f'(x) = \cos x + \sec^2 x - 2.$

步骤3：分析导数的符号
令$t = \cos x$，则$0 < t < 1$，且$\sec^2 x = \dfrac{1}{t^2}$。代入导数表达式：
$f'(x) = t + \dfrac{1}{t^2} - 2.$
需证明$t + \dfrac{1}{t^2} - 2 > 0$在$0 < t < 1$时成立。

步骤4：分析函数$g(t) = t + \dfrac{1}{t^2} - 2$

• 求导：$g'(t) = 1 - \dfrac{2}{t^3}$。
• 在$0 < t < 1$时，$g'(t) < 0$，故$g(t)$单调递减。
• 当$t \to 1$时，$g(t) \to 0$；当$t \to 0^+$时，$g(t) \to +\infty$。
  因此，$g(t) > 0$在$0 < t < 1$时恒成立，即$f'(x) > 0$。

步骤5：结合初始条件

• $f(0) = \sin 0 + \tan 0 - 0 = 0$。
• 由于$f(x)$在$(0, \dfrac{\pi}{2})$上单调递增，且$f(0) = 0$，故当$x > 0$时，$f(x) > 0$。