3/50单选题(2分) 设随机变量X,Y的数学期望分别为-2,2，方差分别为1,4,而相关系数为-0.5,则根据切比雪夫不等式有估计P(|X+Y|geq6)leq(). A. (1)/(12) B. (1)/(6) C. (1)/(4) D. (1)/(3)

考查要点：本题主要考查切比雪夫不等式的应用，以及随机变量和的期望、方差的计算，涉及协方差与相关系数的关系。

解题核心思路：

1. 构造新随机变量 $Z = X + Y$，计算其期望 $E(Z)$ 和方差 $D(Z)$；
2. 应用切比雪夫不等式，将 $P(|Z| \geq 6)$ 转化为与方差相关的不等式；
3. 代入已知数值，直接计算概率的上界。

破题关键点：

• 正确计算协方差：利用相关系数 $\rho_{XY}$ 与标准差的关系 $\text{Cov}(X,Y) = \rho_{XY} \sqrt{D(X)} \sqrt{D(Y)}$；
• 方差公式：注意协方差的符号对总方差的影响；
• 切比雪夫不等式的形式：明确不等式中 $a$ 的取值对应题目中的 $6$。

步骤1：计算 $Z = X + Y$ 的期望

根据期望的线性性质：
$E(Z) = E(X + Y) = E(X) + E(Y) = -2 + 2 = 0.$

步骤2：计算 $Z$ 的方差

方差公式为：
$D(Z) = D(X) + D(Y) + 2\text{Cov}(X, Y).$
其中协方差 $\text{Cov}(X, Y)$ 由相关系数 $\rho_{XY}$ 和标准差计算：
$\text{Cov}(X, Y) = \rho_{XY} \sqrt{D(X)} \sqrt{D(Y)} = -0.5 \times \sqrt{1} \times \sqrt{4} = -1.$
代入方差公式：
$D(Z) = 1 + 4 + 2 \times (-1) = 3.$

步骤3：应用切比雪夫不等式

切比雪夫不等式形式为：
$P(|Z - E(Z)| \geq a) \leq \frac{D(Z)}{a^2}.$
此处 $E(Z) = 0$，$a = 6$，代入得：
$P(|Z| \geq 6) \leq \frac{3}{6^2} = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}.$