3.将n只球随机地放入N(N≥n)个盒子中去，试求每个盒子至多有一个球的概率(设盒子的容量不限).

考查要点：本题主要考查排列组合的基本原理以及概率计算的能力，需要理解“每个盒子至多一个球”的条件限制，并正确计算符合条件的放法数。

解题核心思路：

1. 确定总放法数：每个球有$N$个盒子可选，独立放置，总放法为$N^n$。
2. 确定符合条件的放法数：将$n$个球放入不同盒子，等价于从$N$个盒子中选$n$个并排列，即排列数$P(N,n)=\frac{N!}{(N-n)!}$。
3. 概率公式：概率为符合条件的放法数除以总放法数。

破题关键点：

• 区分排列与组合：本题中球是有区别的（不同球放入不同盒），因此需要考虑排列而非组合。
• 正确应用乘法原理：每个球依次放入不同盒子时，可用盒子数量递减。

总放法数：
每个球有$N$种选择，$n$个球的总放法为：
$N \times N \times \cdots \times N = N^n$

符合条件的放法数：
要求每个盒子至多一个球，即$n$个球必须放入不同的盒子。

1. 选择盒子：从$N$个盒子中选择$n$个，有$\binom{N}{n}$种方法。
2. 排列球：将$n$个球放入选中的盒子，有$n!$种排列方式。
   因此，总放法数为：
   $\binom{N}{n} \times n! = \frac{N!}{(N-n)!}$

概率计算：
概率为符合条件的放法数除以总放法数：
$P = \frac{\frac{N!}{(N-n)!}}{N^n} = \frac{N(N-1)\cdots(N-n+1)}{N^n}$