题目

设向量组 alpha_(1)=(lambda,1,1), alpha_(2)=(1,lambda,1), alpha_(3)=(1,1,lambda) 线性相关，则必有（） A. lambda=0 或 lambda=1,B. lambda=-1 或 lambda=2,C. lambda=1 或 lambda=2,D. lambda=1 或 lambda=-2.

设向量组 $\alpha_{1}=(\lambda,1,1)$, $\alpha_{2}=(1,\lambda,1)$, $\alpha_{3}=(1,1,\lambda)$ 线性相关，则必有（）

  • A. $\lambda=0$ 或 $\lambda=1$,
  • B. $\lambda=-1$ 或 $\lambda=2$,
  • C. $\lambda=1$ 或 $\lambda=2$,
  • D. $\lambda=1$ 或 $\lambda=-2$.

题目解答

答案

向量组 $\alpha_1 = (\lambda, 1, 1)$, $\alpha_2 = (1, \lambda, 1)$, $\alpha_3 = (1, 1, \lambda)$ 线性相关，当且仅当由它们构成的矩阵的行列式为零。计算行列式： \[ \begin{vmatrix} \lambda & 1 & 1 \\ 1 & \lambda & 1 \\ 1 & 1 & \lambda \end{vmatrix} = \lambda^3 - 3\lambda + 2 = (\lambda - 1)^2(\lambda + 2) \] 令行列式为零，解得 $\lambda = 1$ 或 $\lambda = -2$。因此，正确答案为： \[ \boxed{D} \]

解析

考查要点：本题主要考查向量组线性相关的条件及行列式的计算。
解题思路：向量组线性相关的充要条件是它们构成的矩阵的行列式为零。因此，需构造矩阵并计算其行列式，解方程求出λ的值。
关键点：

  1. 行列式的计算：正确展开三阶行列式，注意符号和余子式的对应关系。
  2. 因式分解：将三次多项式分解为一次因式的乘积，找到所有实数根。

构造矩阵 $A = \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 1 \\ 1 & \lambda & 1 \\ 1 & 1 & \lambda \end{pmatrix}$，计算其行列式：

$\begin{vmatrix} \lambda & 1 & 1 \\ 1 & \lambda & 1 \\ 1 & 1 & \lambda \end{vmatrix} = \lambda \cdot (\lambda^2 - 1) - 1 \cdot (1 \cdot \lambda - 1 \cdot 1) + 1 \cdot (1 \cdot 1 - \lambda \cdot 1)$

展开并化简：

$\lambda^3 - \lambda - (\lambda - 1) + (1 - \lambda) = \lambda^3 - 3\lambda + 2$

因式分解：

$\lambda^3 - 3\lambda + 2 = (\lambda - 1)^2 (\lambda + 2)$

令行列式为零，解得：

$\lambda = 1 \quad \text{或} \quad \lambda = -2$

因此，正确答案为 D。