题目

设随机变量X服从参数2指数分布,又=X+(e)^-X,则EY=______

设随机变量X服从参数2指数分布,又 $Y=X+e^ {-X}$ ,则EY=______

题目解答

答案

$E(Y)=E(2X+e^{-2X})=E(2X)+E(e^{-2X})$

因为X服从参数为2的指数分布，所以 $E(X)=\frac{1}{2}$

$E(e^{-2X})=\int_{-\infty}^{0}e^{-2x}f(x)dx+\int_{0}^{\infty}e^{-2x}f(x)dx$

因为f(x)是指数分布的概率密度函数，所以 $f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$ ，其中 $\lambda=2$

将f(x)和 $\lambda$ 的值代入上式，得到：

$E(e^{-2X})=\int_{-\infty}^{0}e^{-2x}f(x)dx+\int_{0}^{\infty}e^{-2x}f(x)dx$

$=\int_{-\infty}^{0}e^{-2x}\times2e^{-2x}dx+\int_{0}^{\infty}e^{-2x}\times2e^{-2x}dx$

$=\int_{-\infty}^{0}2e^{-4x}dx+\int_{0}^{\infty}2e^{-4x}dx =\frac{1}{2}e^{-4x}\mid_{-\infty}^{0}+\frac{1}{2}e^{-4x}\mid_{0}^{\infty}$

$=\frac{1}{2}(1-0)+\frac{1}{2}(0-1)$

$=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}$

将E(X)和 $E(e^{-2X})$ 的值代入 $E(Y)=E(2X)+E(e^{-2X})$ ，得到：

$E(Y)=E(2X)+E(e^{-2X})=2\times\frac{1}{2}+0=1+0=1$

解析

步骤 1：确定X的分布和期望
随机变量X服从参数为2的指数分布，其概率密度函数为$f(x)=2{e}^{-2x}$，其中$x\geq0$。指数分布的期望值为$E(X)=\frac{1}{\lambda}$，其中$\lambda$是分布的参数。因此，$E(X)=\frac{1}{2}$。

步骤 2：计算$E({e}^{-X})$
为了计算$E({e}^{-X})$，我们需要计算积分$\int_{0}^{\infty} {e}^{-x}f(x)dx$，其中$f(x)=2{e}^{-2x}$。将$f(x)$代入积分中，得到：
$$E({e}^{-X})=\int_{0}^{\infty} {e}^{-x}2{e}^{-2x}dx=\int_{0}^{\infty} 2{e}^{-3x}dx$$
计算积分，得到：
$$E({e}^{-X})=\left[-\frac{2}{3}{e}^{-3x}\right]_{0}^{\infty}=\frac{2}{3}$$

步骤 3：计算E(Y)
根据题目，$Y=X+{e}^{-X}$，因此$E(Y)=E(X)+E({e}^{-X})$。将步骤1和步骤2的结果代入，得到：
$$E(Y)=\frac{1}{2}+\frac{2}{3}=\frac{3}{6}+\frac{4}{6}=\frac{7}{6}$$