在肝癌诊断中,有一种甲胎蛋白法,用这种方法能够检查出95%的真实患者,但也有可能将10%的人误诊。根据以往的记录,每10 000人中有4人患有肝癌,试求:(1)某人经此检验法诊断患有肝癌的概率;(2)已知某人经此检验法检验患有肝癌,而他确实是肝癌患者的概率。解:令=“被检验者患有肝癌”, =“用该检验法诊断被检验者患有肝癌”那么,=(1)==(2)==

考查要点：本题主要考查条件概率和全概率公式的应用，特别是贝叶斯定理在实际问题中的运用。需要理解先验概率与后验概率的区别，并结合题目中的发病率数据进行计算。

解题核心思路：

1. 第一问：计算某人被诊断为肝癌的总概率，需考虑患病且检测阳性和未患病但检测阳性两种情况，使用全概率公式。
2. 第二问：已知检测阳性，求实际患病的概率，需用贝叶斯定理，结合第一问的结果计算后验概率。

破题关键点：

• 明确事件定义：$B$为“实际患病”，$A$为“检测阳性”。
• 注意区分真阳性率（$P(A|B)=0.95$）和假阳性率（$P(A|\overline{B})=0.10$）。
• 总人群的先验患病率为$P(B)=0.0004$，未患病概率为$P(\overline{B})=0.9996$。

第（1）题

目标：求$P(A)$，即某人被诊断为肝癌的概率。

应用全概率公式

$P(A) = P(B)P(A|B) + P(\overline{B})P(A|\overline{B})$

代入已知数据

• 患病且检测阳性：$0.0004 \times 0.95 = 0.00038$
• 未患病但检测阳性：$0.9996 \times 0.10 = 0.09996$

合并结果

$P(A) = 0.00038 + 0.09996 = 0.10034$

第（2）题

目标：求$P(B|A)$，即检测阳性时实际患病的概率。

应用贝叶斯定理

$P(B|A) = \frac{P(B)P(A|B)}{P(A)}$

代入已知数据

• 分子：$0.0004 \times 0.95 = 0.00038$
• 分母：$P(A) = 0.10034$（第一问结果）

计算最终概率

$P(B|A) = \frac{0.00038}{0.10034} \approx 0.003789 \approx 0.0038$