8. (5.0分)5.计算int_(L)(x^2-y)dx-(x+sin^2y)dy，其中L是抛物线2y=πx²上由点O(0,0)到点B(1,(pi)/(2))的一段弧。

为了计算曲线积分$\int_{L}(x^{2}-y)dx-(x+\sin^{2}y)dy$，其中$L$是抛物线$2y = \pi x^2$上从点$O(0,0)$到点$B(1,\frac{\pi}{2})$的一段弧，我们可以按照以下步骤进行： 1. **将$y$表示为$x$的函数：** 抛物线的方程是$2y = \pi x^2$，因此我们可以解出$y$： \[ y = \frac{\pi x^2}{2} \] 2. **找到$dy$关于$dx$的表达式：** 对$y = \frac{\pi x^2}{2}$关于$x$求导，我们得到： \[ \frac{dy}{dx} = \pi x \implies dy = \pi x \, dx \] 3. **将$y$和$dy$代入积分：** 积分变为： \[ \int_{L} (x^2 - y) \, dx - (x + \sin^2 y) \, dy = \int_{0}^{1} \left( x^2 - \frac{\pi x^2}{2} \right) \, dx - \int_{0}^{1} \left( x + \sin^2 \left( \frac{\pi x^2}{2} \right) \right) \pi x \, dx \] 4. **简化被积函数：** 第一个积分的被积函数是： \[ x^2 - \frac{\pi x^2}{2} = x^2 \left( 1 - \frac{\pi}{2} \right) \] 第二个积分的被积函数是： \[ \left( x + \sin^2 \left( \frac{\pi x^2}{2} \right) \right) \pi x = \pi x^2 + \pi x \sin^2 \left( \frac{\pi x^2}{2} \right) \] 因此，积分变为： \[ \int_{0}^{1} x^2 \left( 1 - \frac{\pi}{2} \right) \, dx - \int_{0}^{1} \left( \pi x^2 + \pi x \sin^2 \left( \frac{\pi x^2}{2} \right) \right) \, dx \] 5. **合并积分：** \[ \int_{0}^{1} \left( x^2 \left( 1 - \frac{\pi}{2} \right) - \pi x^2 - \pi x \sin^2 \left( \frac{\pi x^2}{2} \right) \right) \, dx = \int_{0}^{1} \left( x^2 \left( 1 - \frac{\pi}{2} - \pi \right) - \pi x \sin^2 \left( \frac{\pi x^2}{2} \right) \right) \, dx \] 进一步简化被积函数： \[ x^2 \left( 1 - \frac{3\pi}{2} \right) - \pi x \sin^2 \left( \frac{\pi x^2}{2} \right) \] 6. **分别计算每个积分：** 第一个积分是： \[ \int_{0}^{1} x^2 \left( 1 - \frac{3\pi}{2} \right) \, dx = \left( 1 - \frac{3\pi}{2} \right) \int_{0}^{1} x^2 \, dx = \left( 1 - \frac{3\pi}{2} \right) \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = \left( 1 - \frac{3\pi}{2} \right) \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{3} - \frac{\pi}{2} \] 第二个积分是： \[ \int_{0}^{1} \pi x \sin^2 \left( \frac{\pi x^2}{2} \right) \, dx \] 设 $u = \frac{\pi x^2}{2}$，则 $du = \pi x \, dx$，当 $x = 0$ 时，$u = 0$，当 $x = 1$ 时，$u = \frac{\pi}{2}$。积分变为： \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 u \, du \] 使用恒等式 $\sin^2 u = \frac{1 - \cos 2u}{2}$，我们得到： \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 u \, du = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 - \cos 2u}{2} \, du = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 - \cos 2u) \, du = \frac{1}{2} \left[ u - \frac{\sin 2u}{2} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2} - 0 \right) = \frac{\pi}{4} \] 7. **合并结果：** \[ \frac{1}{3} - \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{1}{3} - \frac{2\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = \frac{1}{3} - \frac{3\pi}{4} \] 因此，曲线积分的值是： \[ \boxed{\frac{1}{3} - \frac{3\pi}{4}} \]