题目
[题目]设f(x,y)在 dfrac ({x)^2}(4)+(y)^2leqslant 1 具有连续的二阶偏导-|||-数,L是椭圆周 dfrac ({x)^2}(4)+(y)^2=1 的顺时针方向,则(-|||-[ 3y+{f)_(x)(x,y)] dx+(f)_(y)(x,y)dy 的值等于 __ .
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定P和Q
根据题目中的积分表达式，我们有 $P=3y+{f}_{x}(x,y)$ 和 $Q={f}_{y}(x,y)$ 。
步骤 2：计算 ${Q}_{x}-{P}_{y}$
计算 ${Q}_{x}-{P}_{y}$ 的值，即 ${f}_{yx}(x,y)-{f}_{xy}(x,y)-3$ 。由于f(x,y)在 $\dfrac {{x}^{2}}{4}+{y}^{2}\leqslant 1$ 具有连续的二阶偏导数，根据混合偏导数的对称性，我们有 ${f}_{yx}={f}_{xy}$ 。因此，${Q}_{x}-{P}_{y}=-3$。
步骤 3：应用格林公式
设L所围成的区域为D，根据格林公式，我们有 $\int [ 3y+{f}_{x}(x,y)] dx+{f}_{y}(x,y)dy = -\iint D(-3)dxdy$。由于D是椭圆 $\dfrac {{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$ 所围成的区域，其面积为 $\pi \cdot 2\cdot 1$，因此 $\iint D(-3)dxdy = 3\cdot \pi \cdot 2\cdot 1 = 6\pi$。
根据题目中的积分表达式，我们有 $P=3y+{f}_{x}(x,y)$ 和 $Q={f}_{y}(x,y)$ 。
步骤 2：计算 ${Q}_{x}-{P}_{y}$
计算 ${Q}_{x}-{P}_{y}$ 的值，即 ${f}_{yx}(x,y)-{f}_{xy}(x,y)-3$ 。由于f(x,y)在 $\dfrac {{x}^{2}}{4}+{y}^{2}\leqslant 1$ 具有连续的二阶偏导数，根据混合偏导数的对称性，我们有 ${f}_{yx}={f}_{xy}$ 。因此，${Q}_{x}-{P}_{y}=-3$。
步骤 3：应用格林公式
设L所围成的区域为D，根据格林公式，我们有 $\int [ 3y+{f}_{x}(x,y)] dx+{f}_{y}(x,y)dy = -\iint D(-3)dxdy$。由于D是椭圆 $\dfrac {{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$ 所围成的区域，其面积为 $\pi \cdot 2\cdot 1$，因此 $\iint D(-3)dxdy = 3\cdot \pi \cdot 2\cdot 1 = 6\pi$。