题目
3.设 x>0, 且 -dfrac (1)(x)=1, 求 ^3-dfrac (1)({x)^3} 的值.
题目解答
答案
本题考查了整式的乘法，解答本题的关键是掌握平方差公式。
${\mathit{x}}^{3}-\dfrac{1}{{\mathit{x}}^{3}}=\left(\mathit{x}-\dfrac{1}{\mathit{x}}\right)\left({\mathit{x}}^{2}+1+\dfrac{1}{{\mathit{x}}^{2}}\right)=\left(\mathit{x}-\dfrac{1}{\mathit{x}}\right)\left({\mathit{x}}^{2}-2+\dfrac{1}{{\mathit{x}}^{2}}+3\right)=\left(\mathit{x}-\dfrac{1}{\mathit{x}}\right)\left({\mathit{x}}^{2}-2\cdot \mathit{x}\cdot \dfrac{1}{\mathit{x}}+{\left(\dfrac{1}{\mathit{x}}\right)}^{2}+3\right)=\left(\mathit{x}-\dfrac{1}{\mathit{x}}\right)\left({\left(\mathit{x}-\dfrac{1}{\mathit{x}}\right)}^{2}+3\right)=1\times \left({1}^{2}+3\right)=4$
${\mathit{x}}^{3}-\dfrac{1}{{\mathit{x}}^{3}}=\left(\mathit{x}-\dfrac{1}{\mathit{x}}\right)\left({\mathit{x}}^{2}+1+\dfrac{1}{{\mathit{x}}^{2}}\right)=\left(\mathit{x}-\dfrac{1}{\mathit{x}}\right)\left({\mathit{x}}^{2}-2+\dfrac{1}{{\mathit{x}}^{2}}+3\right)=\left(\mathit{x}-\dfrac{1}{\mathit{x}}\right)\left({\mathit{x}}^{2}-2\cdot \mathit{x}\cdot \dfrac{1}{\mathit{x}}+{\left(\dfrac{1}{\mathit{x}}\right)}^{2}+3\right)=\left(\mathit{x}-\dfrac{1}{\mathit{x}}\right)\left({\left(\mathit{x}-\dfrac{1}{\mathit{x}}\right)}^{2}+3\right)=1\times \left({1}^{2}+3\right)=4$
解析
步骤 1：确定已知条件
已知 $x > 0$ 且 $x - \dfrac{1}{x} = 1$。
步骤 2：求解 ${x}^{2} + \dfrac{1}{{x}^{2}}$
首先，我们求解 ${x}^{2} + \dfrac{1}{{x}^{2}}$ 的值。根据已知条件，我们有：
\[
\left(x - \dfrac{1}{x}\right)^2 = 1^2
\]
\[
x^2 - 2\cdot x \cdot \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2} = 1
\]
\[
x^2 - 2 + \dfrac{1}{x^2} = 1
\]
\[
x^2 + \dfrac{1}{x^2} = 3
\]
步骤 3：求解 ${x}^{3} - \dfrac{1}{{x}^{3}}$
接下来，我们求解 ${x}^{3} - \dfrac{1}{{x}^{3}}$ 的值。根据公式：
\[
x^3 - \dfrac{1}{x^3} = \left(x - \dfrac{1}{x}\right)\left(x^2 + 1 + \dfrac{1}{x^2}\right)
\]
代入已知条件和步骤 2 的结果：
\[
x^3 - \dfrac{1}{x^3} = 1 \times (3 + 1) = 4
\]
已知 $x > 0$ 且 $x - \dfrac{1}{x} = 1$。
步骤 2：求解 ${x}^{2} + \dfrac{1}{{x}^{2}}$
首先，我们求解 ${x}^{2} + \dfrac{1}{{x}^{2}}$ 的值。根据已知条件，我们有：
\[
\left(x - \dfrac{1}{x}\right)^2 = 1^2
\]
\[
x^2 - 2\cdot x \cdot \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2} = 1
\]
\[
x^2 - 2 + \dfrac{1}{x^2} = 1
\]
\[
x^2 + \dfrac{1}{x^2} = 3
\]
步骤 3：求解 ${x}^{3} - \dfrac{1}{{x}^{3}}$
接下来，我们求解 ${x}^{3} - \dfrac{1}{{x}^{3}}$ 的值。根据公式：
\[
x^3 - \dfrac{1}{x^3} = \left(x - \dfrac{1}{x}\right)\left(x^2 + 1 + \dfrac{1}{x^2}\right)
\]
代入已知条件和步骤 2 的结果：
\[
x^3 - \dfrac{1}{x^3} = 1 \times (3 + 1) = 4
\]