题目
[题目]设3阶矩阵A的伴随矩阵为A×, |A|=dfrac (1)(2), 则-|||-|((3A))^-1-2(A)^*|=underline ( ) __ .
题目解答
答案
最佳答案
解析
步骤 1：计算 $(3A)^{-1}$
由于 $(3A)^{-1} = \dfrac{1}{3}A^{-1}$，我们首先需要计算 $A^{-1}$。根据矩阵的性质，$A^{-1} = \dfrac{1}{|A|}A^{*}$，其中 $A^{*}$ 是矩阵A的伴随矩阵。因此，$(3A)^{-1} = \dfrac{1}{3}A^{-1} = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{|A|}A^{*} = \dfrac{1}{3} \cdot 2A^{*} = \dfrac{2}{3}A^{*}$。
步骤 2：计算 $|{(3A)}^{-1}-2{A}^{*}|$
根据步骤1，我们有 $(3A)^{-1} = \dfrac{2}{3}A^{*}$。因此，$|{(3A)}^{-1}-2{A}^{*}| = |\dfrac{2}{3}A^{*}-2{A}^{*}| = |-\dfrac{4}{3}A^{*}|$。由于 $A^{*}$ 是3阶矩阵，其行列式为 $|A^{*}| = |A|^{2} = (\dfrac{1}{2})^{2} = \dfrac{1}{4}$。因此，$|-\dfrac{4}{3}A^{*}| = (-\dfrac{4}{3})^{3} \cdot \dfrac{1}{4} = -\dfrac{64}{27} \cdot \dfrac{1}{4} = -\dfrac{16}{27}$。
由于 $(3A)^{-1} = \dfrac{1}{3}A^{-1}$，我们首先需要计算 $A^{-1}$。根据矩阵的性质，$A^{-1} = \dfrac{1}{|A|}A^{*}$，其中 $A^{*}$ 是矩阵A的伴随矩阵。因此，$(3A)^{-1} = \dfrac{1}{3}A^{-1} = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{|A|}A^{*} = \dfrac{1}{3} \cdot 2A^{*} = \dfrac{2}{3}A^{*}$。
步骤 2：计算 $|{(3A)}^{-1}-2{A}^{*}|$
根据步骤1，我们有 $(3A)^{-1} = \dfrac{2}{3}A^{*}$。因此，$|{(3A)}^{-1}-2{A}^{*}| = |\dfrac{2}{3}A^{*}-2{A}^{*}| = |-\dfrac{4}{3}A^{*}|$。由于 $A^{*}$ 是3阶矩阵，其行列式为 $|A^{*}| = |A|^{2} = (\dfrac{1}{2})^{2} = \dfrac{1}{4}$。因此，$|-\dfrac{4}{3}A^{*}| = (-\dfrac{4}{3})^{3} \cdot \dfrac{1}{4} = -\dfrac{64}{27} \cdot \dfrac{1}{4} = -\dfrac{16}{27}$。