题目
下列级数中，收敛的是____。 A. (1)/(1cdot3)+(1)/(3cdot5)+(1)/(5cdot7)+...+(1)/((2n-1)(2n+1))+...B. sum_(n=1)^infty(sqrt(n+1)-sqrt(n))C. 1-1+1-1+...+(-1)^n-1+...D. ln(1+1)+ln(1+(1)/(2))+ln(1+(1)/(3))+...+ln(1+(1)/(n))+...
下列级数中，收敛的是____。
- A. $\frac{1}{1\cdot3}+\frac{1}{3\cdot5}+\frac{1}{5\cdot7}+\cdots+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}+\cdots$
- B. $\sum_{n=1}^{\infty}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})$
- C. $1-1+1-1+\cdots+(-1)^{n-1}+\cdots$
- D. $\ln(1+1)+\ln(1+\frac{1}{2})+\ln(1+\frac{1}{3})+\cdots+\ln(1+\frac{1}{n})+\cdots$
题目解答
答案
**答案：A**
**解析：**
- **选项A**：级数可写为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$，利用部分分式分解得 $\frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1} \right)$，为收敛的望远级数，和为 $\frac{1}{2}$。
- **选项B**：通项 $\sqrt{n+1} - \sqrt{n} \approx \frac{1}{2\sqrt{n}}$，与发散的 $p$-级数 $\sum \frac{1}{\sqrt{n}}$ 相似，故发散。
- **选项C**：通项为 $(-1)^{n-1}$，部分和在 $0$ 和 $1$ 振荡，不收敛。
- **选项D**：通项 $\ln(1 + \frac{1}{n}) \approx \frac{1}{n}$，与调和级数相似，发散。
**答案：A** $\boxed{A}$
解析
步骤 1：分析选项A
级数可写为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$，利用部分分式分解得 $\frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1} \right)$，为收敛的望远级数，和为 $\frac{1}{2}$。
步骤 2：分析选项B
通项 $\sqrt{n+1} - \sqrt{n} \approx \frac{1}{2\sqrt{n}}$，与发散的 $p$-级数 $\sum \frac{1}{\sqrt{n}}$ 相似，故发散。
步骤 3：分析选项C
通项为 $(-1)^{n-1}$，部分和在 $0$ 和 $1$ 振荡，不收敛。
步骤 4：分析选项D
通项 $\ln(1 + \frac{1}{n}) \approx \frac{1}{n}$，与调和级数相似，发散。
级数可写为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$，利用部分分式分解得 $\frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1} \right)$，为收敛的望远级数，和为 $\frac{1}{2}$。
步骤 2：分析选项B
通项 $\sqrt{n+1} - \sqrt{n} \approx \frac{1}{2\sqrt{n}}$，与发散的 $p$-级数 $\sum \frac{1}{\sqrt{n}}$ 相似，故发散。
步骤 3：分析选项C
通项为 $(-1)^{n-1}$，部分和在 $0$ 和 $1$ 振荡，不收敛。
步骤 4：分析选项D
通项 $\ln(1 + \frac{1}{n}) \approx \frac{1}{n}$，与调和级数相似，发散。