计算下列对坐标的曲线积分:-|||-() int ((x)^2-(y)^2)dx, 其中L是抛物线 =(x)^2 上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧;

考查要点：本题主要考查对坐标的曲线积分（第二类曲线积分）的计算方法，重点在于参数化曲线并转化为定积分求解。

解题核心思路：

1. 参数化曲线：将曲线L用参数方程表示，这里直接利用抛物线方程$y = x^2$，以$x$为参数。
2. 代入被积表达式：将$y$替换为$x^2$，将曲线积分转化为关于$x$的定积分。
3. 计算定积分：分别计算$x^2$和$x^4$的积分，再相减得到最终结果。

破题关键点：

• 正确参数化曲线，明确积分变量为$x$，积分限为$0$到$2$。
• 注意符号处理，尤其是被积函数中$x^2 - y^2$替换后可能产生负值的情况。

步骤1：参数化曲线
曲线$L$为抛物线$y = x^2$，从点$(0,0)$到$(2,4)$，可直接以$x$为参数，参数方程为：
$\begin{cases}x = x \\y = x^2\end{cases} \quad (0 \leq x \leq 2)$

步骤2：代入被积表达式
将$y = x^2$代入被积函数$x^2 - y^2$，得：
$x^2 - y^2 = x^2 - (x^2)^2 = x^2 - x^4$

步骤3：转化为定积分
原曲线积分转化为关于$x$的定积分：
$\int_L (x^2 - y^2) \, dx = \int_{0}^{2} (x^2 - x^4) \, dx$

步骤4：计算定积分
分别计算$\int x^2 \, dx$和$\int x^4 \, dx$：

1. $\int_{0}^{2} x^2 \, dx = \left[ \frac{1}{3}x^3 \right]_0^2 = \frac{8}{3}$
2. $\int_{0}^{2} x^4 \, dx = \left[ \frac{1}{5}x^5 \right]_0^2 = \frac{32}{5}$

步骤5：求差并化简
$\frac{8}{3} - \frac{32}{5} = \frac{40}{15} - \frac{96}{15} = -\frac{56}{15}$