题目
计算下列对坐标的曲线积分:-|||-() int ((x)^2-(y)^2)dx, 其中L是抛物线 =(x)^2 上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧;
题目解答
答案
解析
步骤 1：参数化曲线
将曲线 $y = x^2$ 参数化，设 $x = t$，则 $y = t^2$，其中 $t$ 从 0 变化到 2。
步骤 2：计算积分
将 $x = t$ 和 $y = t^2$ 代入积分 $\int ({x}^{2}-{y}^{2})dx$，得到 $\int (t^2 - t^4)dt$。
步骤 3：计算定积分
计算定积分 $\int_{0}^{2} (t^2 - t^4)dt$，得到 $[\dfrac{1}{3}t^3 - \dfrac{1}{5}t^5]_{0}^{2}$。
步骤 4：计算结果
计算 $[\dfrac{1}{3}t^3 - \dfrac{1}{5}t^5]_{0}^{2}$，得到 $\dfrac{1}{3} \cdot 2^3 - \dfrac{1}{5} \cdot 2^5 = \dfrac{8}{3} - \dfrac{32}{5} = \dfrac{40}{15} - \dfrac{96}{15} = -\dfrac{56}{15}$。
将曲线 $y = x^2$ 参数化，设 $x = t$，则 $y = t^2$，其中 $t$ 从 0 变化到 2。
步骤 2：计算积分
将 $x = t$ 和 $y = t^2$ 代入积分 $\int ({x}^{2}-{y}^{2})dx$，得到 $\int (t^2 - t^4)dt$。
步骤 3：计算定积分
计算定积分 $\int_{0}^{2} (t^2 - t^4)dt$，得到 $[\dfrac{1}{3}t^3 - \dfrac{1}{5}t^5]_{0}^{2}$。
步骤 4：计算结果
计算 $[\dfrac{1}{3}t^3 - \dfrac{1}{5}t^5]_{0}^{2}$，得到 $\dfrac{1}{3} \cdot 2^3 - \dfrac{1}{5} \cdot 2^5 = \dfrac{8}{3} - \dfrac{32}{5} = \dfrac{40}{15} - \dfrac{96}{15} = -\dfrac{56}{15}$。