题目
设lim _(xarrow 0)dfrac (ln (1+x+dfrac {f(x))(x))}(x)=3，则lim _(xarrow 0)dfrac (ln (1+x+dfrac {f(x))(x))}(x)=3
设
，则
题目解答
答案
因为：，当
时因为极限结果为常数，且分母趋于零，所以分母必趋于零，否则结果不可能为常数，所以有：
，所以
，所以
，所以原式可化为：
，所以
解析
步骤 1：分析极限条件
给定条件为$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\ln (1+x+\dfrac {f(x)}{x})}{x}=3$。由于$x\rightarrow 0$时，分母$x$趋于0，而极限结果为常数3，这意味着分子$\ln (1+x+\dfrac {f(x)}{x})$也必须趋于0，否则极限结果将趋于无穷大或不存在。
步骤 2：利用等价无穷小替换
当$x\rightarrow 0$时，$\ln (1+x+\dfrac {f(x)}{x})$可以近似为$x+\dfrac {f(x)}{x}$，因为$\ln(1+u)\sim u$当$u\rightarrow 0$时。因此，原极限可以近似为$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {x+\dfrac {f(x)}{x}}{x}$。
步骤 3：计算极限
将步骤2中的近似代入原极限，得到$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {x+\dfrac {f(x)}{x}}{x}=\lim _{x\rightarrow 0}(1+\dfrac {f(x)}{{x}^{2}})=3$。由此可得$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(x)}{{x}^{2}}=2$。
给定条件为$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\ln (1+x+\dfrac {f(x)}{x})}{x}=3$。由于$x\rightarrow 0$时，分母$x$趋于0，而极限结果为常数3，这意味着分子$\ln (1+x+\dfrac {f(x)}{x})$也必须趋于0，否则极限结果将趋于无穷大或不存在。
步骤 2：利用等价无穷小替换
当$x\rightarrow 0$时，$\ln (1+x+\dfrac {f(x)}{x})$可以近似为$x+\dfrac {f(x)}{x}$，因为$\ln(1+u)\sim u$当$u\rightarrow 0$时。因此，原极限可以近似为$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {x+\dfrac {f(x)}{x}}{x}$。
步骤 3：计算极限
将步骤2中的近似代入原极限，得到$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {x+\dfrac {f(x)}{x}}{x}=\lim _{x\rightarrow 0}(1+\dfrac {f(x)}{{x}^{2}})=3$。由此可得$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(x)}{{x}^{2}}=2$。