题目
2.设A=(a_(ij))_(2times 2)，且|A|=-5，则|(2A)^-1-2A^*|=____
2.设$A=(a_{ij})_{2\times 2}$，且$|A|=-5$，则$|(2A)^{-1}-2A^{*}|=$____
题目解答
答案
为了解决这个问题，我们需要找到矩阵$(2A)^{-1} - 2A^*$的行列式，已知矩阵$A$的行列式为$-5$。让我们一步步来解决。
1. **找到$(2A)^{-1}$:**
矩阵$cA$的逆，其中$c$是一个标量，由$(cA)^{-1} = \frac{1}{c}A^{-1}$给出。对于$c = 2$，我们有：
\[
(2A)^{-1} = \frac{1}{2}A^{-1}
\]
2. **找到$A^*$:**
矩阵$A$的伴随矩阵$A^*$由$A^* = |A|A^{-1}$给出。由于$|A| = -5$，我们有：
\[
A^* = -5A^{-1}
\]
3. **形成矩阵$(2A)^{-1} - 2A^*$:**
将$(2A)^{-1}$和$A^*$的表达式代入，我们得到：
\[
(2A)^{-1} - 2A^* = \frac{1}{2}A^{-1} - 2(-5A^{-1}) = \frac{1}{2}A^{-1} + 10A^{-1} = \left(\frac{1}{2} + 10\right)A^{-1} = \frac{21}{2}A^{-1}
\]
4. **找到$\frac{21}{2}A^{-1}$的行列式:**
矩阵$cB$的行列式，其中$c$是一个标量，且$B$是一个$n \times n$矩阵，由$|cB| = c^n|B|$给出。对于$c = \frac{21}{2}$和$B = A^{-1}$，由于$A^{-1}$是一个$2 \times 2$矩阵，我们有：
\[
\left|\frac{21}{2}A^{-1}\right| = \left(\frac{21}{2}\right)^2 |A^{-1}|
\]
矩阵$A$的逆的行列式是矩阵$A$的行列式的倒数，因此：
\[
|A^{-1}| = \frac{1}{|A|} = \frac{1}{-5} = -\frac{1}{5}
\]
因此：
\[
\left|\frac{21}{2}A^{-1}\right| = \left(\frac{21}{2}\right)^2 \left(-\frac{1}{5}\right) = \frac{441}{4} \left(-\frac{1}{5}\right) = -\frac{441}{20}
\]
所以，$(2A)^{-1} - 2A^*$的行列式是$\boxed{-\frac{441}{20}}$。
解析
考查要点：本题主要考查矩阵的逆矩阵、伴随矩阵的性质，以及行列式的运算规则。
解题思路：
- 利用伴随矩阵与逆矩阵的关系，将$A^*$表示为$|A|A^{-1}$；
- 计算$(2A)^{-1}$，应用标量乘法与逆矩阵的关系；
- 将表达式$(2A)^{-1} - 2A^*$化简为标量乘以$A^{-1}$；
- 应用行列式的性质，结合标量乘法对行列式的影响，最终求出结果。
关键点：
- 伴随矩阵公式：$A^* = |A|A^{-1}$；
- 标量乘法的逆矩阵：$(cA)^{-1} = \frac{1}{c}A^{-1}$；
- 行列式的标量乘法性质：$|cB| = c^n|B|$（$n$为矩阵阶数）。
-
计算$(2A)^{-1}$
根据标量乘法与逆矩阵的关系：
$(2A)^{-1} = \frac{1}{2}A^{-1}.$ -
计算$A^*$
由伴随矩阵的定义：
$A^* = |A|A^{-1} = -5A^{-1}.$ -
化简表达式$(2A)^{-1} - 2A^*$
将$(2A)^{-1}$和$A^*$代入：
$\begin{aligned} (2A)^{-1} - 2A^* &= \frac{1}{2}A^{-1} - 2(-5A^{-1}) \\ &= \frac{1}{2}A^{-1} + 10A^{-1} \\ &= \left(\frac{1}{2} + 10\right)A^{-1} \\ &= \frac{21}{2}A^{-1}. \end{aligned}$ -
计算行列式$\left|\frac{21}{2}A^{-1}\right|$
- 行列式的标量乘法性质：
$\left|\frac{21}{2}A^{-1}\right| = \left(\frac{21}{2}\right)^2 |A^{-1}|.$ - 矩阵逆的行列式性质：
$|A^{-1}| = \frac{1}{|A|} = -\frac{1}{5}.$ - 代入计算：
$\left(\frac{21}{2}\right)^2 \cdot \left(-\frac{1}{5}\right) = \frac{441}{4} \cdot \left(-\frac{1}{5}\right) = -\frac{441}{20}.$
- 行列式的标量乘法性质：