题目
设A, B为n阶方阵,下列运算正确的是().A. (AB)^k = A^kB^kB. |-A| = -|A|C. |AB| = |B||A|D. |A+B| = |A| + |B|
设$A, B$为$n$阶方阵,下列运算正确的是().
A. $(AB)^k = A^kB^k$
B. $|-A| = -|A|$
C. $|AB| = |B||A|$
D. $|A+B| = |A| + |B|$
题目解答
答案
C. $|AB| = |B||A|$
解析
步骤 1：分析选项A
$(AB)^k = A^k B^k$ 需要 $A$ 和 $B$ 可交换，即 $AB = BA$。题目未给定条件，所以不恒成立。
步骤 2：分析选项B
$|-A| = (-1)^n |A|$，仅当 $n$ 为奇数时等于 $-|A|$，偶数时等于 $|A|$，无法恒成立。
步骤 3：分析选项C
由行列式性质，$|AB| = |A||B| = |B||A|$，恒成立。
步骤 4：分析选项D
矩阵和的行列式不等于行列式的和，如单位阵与负单位阵相加行列式不满足。
$(AB)^k = A^k B^k$ 需要 $A$ 和 $B$ 可交换，即 $AB = BA$。题目未给定条件，所以不恒成立。
步骤 2：分析选项B
$|-A| = (-1)^n |A|$，仅当 $n$ 为奇数时等于 $-|A|$，偶数时等于 $|A|$，无法恒成立。
步骤 3：分析选项C
由行列式性质，$|AB| = |A||B| = |B||A|$，恒成立。
步骤 4：分析选项D
矩阵和的行列式不等于行列式的和，如单位阵与负单位阵相加行列式不满足。