二、多选题(共10题,20.0分) 题型说明:多选题 38.(多选题，2.0分) 设f()N→Q定义为f(n)=n/1,则() A. f是单射 B. f是满射 C. f的像集是正整数集 D. f是自然数到有理数的嵌入映射

### 问题解析 题目给出了一个函数 $ f: \mathbb{N} \to \mathbb{Q} $，定义为 $ f(n) = \frac{n}{1} $。我们需要分析这个函数的性质，判断哪些选项是正确的。 1. **函数定义**： - $ \mathbb{N} $ 表示自然数集，即 $ \{0, 1, 2, 3, \ldots\} $。 - $ \mathbb{Q} $ 表示有理数集，即所有可以表示为 $ \frac{p}{q} $ 形式的数，其中 $ p $ 和 $ q $ 是整数，且 $ q \neq 0 $。 - 函数 $ f(n) = \frac{n}{1} $ 实际上就是 $ f(n) = n $，因为任何数除以1还是它本身。 2. **单射（Injective）**： - 单射的定义是：如果 $ f(a) = f(b) $，则 $ a = b $。 - 对于 $ f(n) = n $，如果 $ f(a) = f(b) $，则 $ a = b $。因此，$ f $ 是单射。 3. **满射（Surjective）**： - 满射的定义是：对于每一个 $ y \in \mathbb{Q} $，存在一个 $ x \in \mathbb{N} $ 使得 $ f(x) = y $。 - 有理数集 $ \mathbb{Q} $ 包含所有分数，而自然数集 $ \mathbb{N} $ 只包含非负整数。显然，不是每一个有理数都能找到一个自然数 $ n $ 使得 $ f(n) = y $。例如，$ \frac{1}{2} $ 是一个有理数，但没有自然数 $ n $ 使得 $ f(n) = \frac{1}{2} $。因此，$ f $ 不是满射。 4. **像集（Image）**： - 像集是指函数 $ f $ 的所有输出值的集合。 - 对于 $ f(n) = n $，像集是所有自然数 $ \{0, 1, 2, 3, \ldots\} $。这些自然数也是正整数集的一部分，但不包括负数和分数。因此，像集是正整数集（如果考虑自然数从1开始）或非负整数集（如果考虑自然数从0开始）。 5. **嵌入映射（Embedding）**： - 嵌入映射是指将一个集合的元素映射到另一个集合中，且保持原有的结构。 - $ f(n) = n $ 将自然数集 $ \mathbb{N} $ 映射到有理数集 $ \mathbb{Q} $ 中，且保持了自然数的结构。因此，$ f $ 是自然数到有理数的嵌入映射。 ### 答案 根据以上分析，正确的选项是： - A. f是单射 - C. f的像集是正整数集 - D. f是自然数到有理数的嵌入映射 因此，答案是 **A, C, D**。