题目

已知向量组0 1-|||-A:α1= 1 ,α2= 1-|||-1 0；0 1-|||-A:α1= 1 ,α2= 1-|||-1 0，证明向量组0 1-|||-A:α1= 1 ,α2= 1-|||-1 0与向量组0 1-|||-A:α1= 1 ,α2= 1-|||-1 0等价。

已知向量组

$A:\alpha_1=\begin{pmatrix} 0 \newline 1\\ 1 \end{pmatrix},\alpha_2=\begin{pmatrix} 1\newline 1\\ 0 \end{pmatrix}$ ；

$B:\beta_1=\begin{pmatrix} -1 \newline 0\\ 1 \end{pmatrix},\beta_2=\begin{pmatrix} 1\newline 2\\ 1 \end{pmatrix},\beta_3=\begin{pmatrix} 3\newline 2\\ -1 \end{pmatrix}$ ，证明向量组 $A$ 与向量组 $B$ 等价。

题目解答

答案

证明：

设增广矩阵 $\left(A\mid B\right)$

$=\begin{pmatrix} 0&1&-1&1&3 \newline 1&1&0&2&2 \newline 1&0&1&1&-1 \end{pmatrix}$ ；

将第一行和第三行交换位置可得：

$\begin{pmatrix} 1&0&1&1&-1 \newline 1&1&0&2&2 \newline 0&1&-1&1&3 \end{pmatrix}$ ；

将第一行的-1倍加到第二行可得：

$\begin{pmatrix} 1&0&1&1&-1 \newline 0&1&-1&1&3 \newline 0&1&-1&1&3 \end{pmatrix}$ ；

将第二行的-1倍加到第三行可得：

$\begin{pmatrix} 1&0&1&1&-1 \newline 0&1&-1&1&3 \newline 0&0&0&0&0 \end{pmatrix}$ ；

根据非零行的个数可得：

$r\left(A\right)=r\left(B\right)=r\left(A\mid B\right)$ ；

故向量组 $A$ 与向量组 $B$ 等价。

解析

步骤 1：构造增广矩阵
构造增广矩阵$A|B$，其中$A$是向量组的矩阵表示，$B$是向量组的矩阵表示。根据题目，我们有：
$$
A = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
2 & 3 & 4 \\
3 & 4 & 5
\end{pmatrix}, \quad
B = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
2 & 3 & 4 \\
3 & 4 & 5
\end{pmatrix}
$$
因此，增广矩阵$A|B$为：
$$
A|B = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & | & 1 & 2 & 3 \\
2 & 3 & 4 & | & 2 & 3 & 4 \\
3 & 4 & 5 & | & 3 & 4 & 5
\end{pmatrix}
$$
步骤 2：进行初等行变换
将第一行和第三行交换位置可得：
$$
\begin{pmatrix}
3 & 4 & 5 & | & 3 & 4 & 5 \\
2 & 3 & 4 & | & 2 & 3 & 4 \\
1 & 2 & 3 & | & 1 & 2 & 3
\end{pmatrix}
$$
将第一行的-1倍加到第二行可得：
$$
\begin{pmatrix}
3 & 4 & 5 & | & 3 & 4 & 5 \\
-1 & -1 & -1 & | & -1 & -1 & -1 \\
1 & 2 & 3 & | & 1 & 2 & 3
\end{pmatrix}
$$
将第二行的-1倍加到第三行可得：
$$
\begin{pmatrix}
3 & 4 & 5 & | & 3 & 4 & 5 \\
-1 & -1 & -1 & | & -1 & -1 & -1 \\
0 & 1 & 2 & | & 0 & 1 & 2
\end{pmatrix}
$$
步骤 3：判断矩阵的秩
根据非零行的个数可得：
$$
r(A) = r(B) = r(A|B) = 2
$$