int dfrac (x+5)({x)^2-6x+13}dx=-|||-__-|||-_________.

考查要点：本题主要考查分式积分的解法，特别是如何通过分子变形将积分拆分为对数函数和反正切函数的形式。

解题核心思路：

1. 分母处理：将分母配方为完全平方形式，便于后续积分。
2. 分子拆分：将分子拆分为分母的导数与常数项的组合，从而将积分拆分为两部分：
   • 第一部分：分子为分母的导数，对应积分结果为对数函数。
   • 第二部分：分子为常数，对应积分结果为反正切函数。

破题关键点：

• 配方：将分母配方为 $(x-3)^2 + 2^2$，使其符合反正切积分的标准形式。
• 分子变形：通过调整系数，将分子拆分为与分母导数相关和常数项的组合。

步骤1：配方分母
将分母 $x^2 - 6x + 13$ 配方：
$x^2 - 6x + 13 = (x-3)^2 + 4 = (x-3)^2 + 2^2.$

步骤2：分子变形
将分子 $x+5$ 乘以 $2$ 并除以 $2$，得到：
$\int \frac{x+5}{(x-3)^2 + 2^2} dx = \frac{1}{2} \int \frac{2x + 10}{(x-3)^2 + 2^2} dx.$

步骤3：拆分分子
将分子 $2x + 10$ 拆分为 $(2x - 6) + 16$（其中 $2x - 6$ 是分母的导数）：
$\frac{1}{2} \int \frac{(2x - 6) + 16}{(x-3)^2 + 2^2} dx = \frac{1}{2} \left( \int \frac{2x - 6}{(x-3)^2 + 2^2} dx + \int \frac{16}{(x-3)^2 + 2^2} dx \right).$

步骤4：分别积分

1. 第一部分：分子为分母的导数，积分结果为对数函数：
   $\int \frac{2x - 6}{(x-3)^2 + 2^2} dx = \ln \left| (x-3)^2 + 2^2 \right| + C_1 = \ln(x^2 - 6x + 13) + C_1.$
2. 第二部分：标准反正切积分形式：
   $\int \frac{16}{(x-3)^2 + 2^2} dx = 16 \cdot \frac{1}{2} \arctan\left( \frac{x-3}{2} \right) + C_2 = 8 \arctan\left( \frac{x-3}{2} \right) + C_2.$

步骤5：合并结果
将两部分合并并整理系数：
$\frac{1}{2} \left( \ln(x^2 - 6x + 13) + 8 \arctan\left( \frac{x-3}{2} \right) \right) + C = \frac{1}{2} \ln(x^2 - 6x + 13) + 4 \arctan\left( \frac{x-3}{2} \right) + C.$