题目
int dfrac (x+5)({x)^2-6x+13}dx=-|||-__-|||-_________.
_______.
题目解答
答案
答案：
解析：
解析
步骤 1：将被积函数分解为两部分
将被积函数 $\dfrac {x+5}{{x}^{2}-6x+13}$ 分解为两部分，以便于分别积分。注意到分母可以写成 $(x-3)^2 + 2^2$ 的形式，这提示我们可能需要使用部分分式分解和三角代换。
步骤 2：将被积函数写成两个部分的和
将被积函数写成两个部分的和，其中一部分是 $\dfrac{2x-6}{2(x^2-6x+13)}$，另一部分是 $\dfrac{16}{2(x^2-6x+13)}$。这样做的目的是为了分别积分这两个部分。
步骤 3：分别积分两个部分
对第一部分 $\dfrac{2x-6}{2(x^2-6x+13)}$ 积分，得到 $\dfrac{1}{2}\ln(x^2-6x+13)$。对第二部分 $\dfrac{16}{2(x^2-6x+13)}$ 积分，使用三角代换 $x-3=2\tan\theta$，得到 $4\arctan\left(\dfrac{x-3}{2}\right)$。
步骤 4：合并结果
将两个部分的积分结果合并，得到最终答案。
将被积函数 $\dfrac {x+5}{{x}^{2}-6x+13}$ 分解为两部分，以便于分别积分。注意到分母可以写成 $(x-3)^2 + 2^2$ 的形式，这提示我们可能需要使用部分分式分解和三角代换。
步骤 2：将被积函数写成两个部分的和
将被积函数写成两个部分的和，其中一部分是 $\dfrac{2x-6}{2(x^2-6x+13)}$，另一部分是 $\dfrac{16}{2(x^2-6x+13)}$。这样做的目的是为了分别积分这两个部分。
步骤 3：分别积分两个部分
对第一部分 $\dfrac{2x-6}{2(x^2-6x+13)}$ 积分，得到 $\dfrac{1}{2}\ln(x^2-6x+13)$。对第二部分 $\dfrac{16}{2(x^2-6x+13)}$ 积分，使用三角代换 $x-3=2\tan\theta$，得到 $4\arctan\left(\dfrac{x-3}{2}\right)$。
步骤 4：合并结果
将两个部分的积分结果合并，得到最终答案。