基本初等函数和初等函数在其定义区间内一定是连续的.A. 正确B. 错误

考查要点：本题主要考查对基本初等函数和初等函数连续性的理解，属于数学分析的基础概念题。

解题核心思路：

1. 基本初等函数（如幂函数、指数函数、三角函数等）在其定义域内均连续。
2. 初等函数由基本初等函数通过有限次四则运算和复合构成，根据连续函数的运算性质，初等函数在其定义区间内也必然连续。

关键点：

• 明确“定义区间”是函数自然存在的定义域，而非任意拼接后的区间。
• 区分“定义区间内”与“任意区间”（如分段函数可能在分段点不连续）。

基本初等函数的连续性：

• 常数函数：$y = C$，在全体实数范围内连续。
• 幂函数：$y = x^a$，在定义域内（如$x > 0$当$a$为分数时）连续。
• 指数函数：$y = a^x$（$a > 0$且$a \neq 1$），在全体实数范围内连续。
• 对数函数：$y = \log_a x$（$a > 0$且$a \neq 1$），在定义域$x > 0$内连续。
• 三角函数：如$y = \sin x$、$y = \cos x$，在全体实数范围内连续。
• 反三角函数：如$y = \arcsin x$，在定义域$[-1, 1]$内连续。

初等函数的连续性：

• 初等函数由基本初等函数通过有限次四则运算（加、减、乘、除）和复合得到。
• 根据连续函数的运算性质：
  • 四则运算后的函数在公共定义域内连续。
  • 复合函数在定义域内连续。
• 因此，初等函数在其定义区间内必然连续。

结论：题目表述正确，答案为A。