题目
设z=(（1+i）（3-i）)/(（1+2i）（sqrt(2)+i）)，则z的模为（ ）A. (2)/(sqrt(3))B. (2sqrt(2))/(3)C. (2)/(3)D. (3)/(sqrt(2))
设z=$\frac{（1+i）（3-i）}{（1+2i）（\sqrt{2}+i）}$，则z的模为（ ）
- A. $\frac{2}{\sqrt{3}}$
- B. $\frac{2\sqrt{2}}{3}$
- C. $\frac{2}{3}$
- D. $\frac{3}{\sqrt{2}}$
题目解答
答案
解：∵z=$\frac{（1+i）（3-i）}{（1+2i）（\sqrt{2}+i）}$，
∴|z|=$\frac{|1+i||3-i|}{|1+2i||\sqrt{2}+1|}$=$\frac{\sqrt{2}×\sqrt{10}}{\sqrt{5}×\sqrt{3}}$=$\frac{2}{\sqrt{3}}$．
故选：A．
∴|z|=$\frac{|1+i||3-i|}{|1+2i||\sqrt{2}+1|}$=$\frac{\sqrt{2}×\sqrt{10}}{\sqrt{5}×\sqrt{3}}$=$\frac{2}{\sqrt{3}}$．
故选：A．
解析
步骤 1：计算分子的模
分子为$(1+i)(3-i)$，首先计算其模。根据复数的模的定义，$|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}$，则$|1+i|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$|3-i|=\sqrt{3^2+(-1)^2}=\sqrt{10}$。因此，分子的模为$\sqrt{2}×\sqrt{10}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
步骤 2：计算分母的模
分母为$(1+2i)(\sqrt{2}+i)$，同样计算其模。$|1+2i|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$|\sqrt{2}+i|=\sqrt{(\sqrt{2})^2+1^2}=\sqrt{3}$。因此，分母的模为$\sqrt{5}×\sqrt{3}=\sqrt{15}$。
步骤 3：计算z的模
根据复数模的性质，$|z|=\frac{|分子|}{|分母|}$，则$|z|=\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{15}}=\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{3}×\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{3}}$。
分子为$(1+i)(3-i)$，首先计算其模。根据复数的模的定义，$|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}$，则$|1+i|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$|3-i|=\sqrt{3^2+(-1)^2}=\sqrt{10}$。因此，分子的模为$\sqrt{2}×\sqrt{10}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
步骤 2：计算分母的模
分母为$(1+2i)(\sqrt{2}+i)$，同样计算其模。$|1+2i|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$|\sqrt{2}+i|=\sqrt{(\sqrt{2})^2+1^2}=\sqrt{3}$。因此，分母的模为$\sqrt{5}×\sqrt{3}=\sqrt{15}$。
步骤 3：计算z的模
根据复数模的性质，$|z|=\frac{|分子|}{|分母|}$，则$|z|=\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{15}}=\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{3}×\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{3}}$。