题目
1.n阶方阵A与n阶方阵B相似,则有 ()-|||-A. |A|neq |B| B. |A-lambda E|=|B-lambda E|-|||-C.A与B没有相同的秩 D.A,B均有n个线性无关的特征向量
题目解答
答案
解析
步骤 1：相似矩阵的定义
两个矩阵A和B相似，意味着存在一个可逆矩阵P，使得$B = P^{-1}AP$。相似矩阵具有相同的特征值和特征多项式。
步骤 2：特征多项式的定义
矩阵A的特征多项式定义为$|A-\lambda E|$，其中E是单位矩阵，$\lambda$是特征值。相似矩阵的特征多项式相同，即$|A-\lambda E|=|B-\lambda E|$。
步骤 3：排除其他选项
选项A：相似矩阵的行列式相等，即$|A|=|B|$，所以A选项不正确。
选项C：相似矩阵的秩相等，所以C选项不正确。
选项D：相似矩阵不一定都有n个线性无关的特征向量，所以D选项不正确。
两个矩阵A和B相似，意味着存在一个可逆矩阵P，使得$B = P^{-1}AP$。相似矩阵具有相同的特征值和特征多项式。
步骤 2：特征多项式的定义
矩阵A的特征多项式定义为$|A-\lambda E|$，其中E是单位矩阵，$\lambda$是特征值。相似矩阵的特征多项式相同，即$|A-\lambda E|=|B-\lambda E|$。
步骤 3：排除其他选项
选项A：相似矩阵的行列式相等，即$|A|=|B|$，所以A选项不正确。
选项C：相似矩阵的秩相等，所以C选项不正确。
选项D：相似矩阵不一定都有n个线性无关的特征向量，所以D选项不正确。