题目
1.2.1 求下面各题的所有的根、单根,并说明几何意义:-|||-(a) ((2i))^dfrac (1{2)};-|||-(b) ((1-sqrt {3)i)}^dfrac (1{2)};-|||-(c) ((-1))^dfrac (1{3)};-|||-(d) ((-16))^dfrac (1{4)};-|||-(e) ^dfrac (1{6)};-|||-(f) ((-4sqrt {2)+4sqrt (2)i)}^dfrac (1{3)}.
题目解答
答案
解析
步骤 1：求解复数的根
对于复数 $z = re^{i\theta}$，其 $n$ 次根为 $z^{1/n} = r^{1/n}e^{i(\theta + 2k\pi)/n}$，其中 $k = 0, 1, 2, ..., n-1$。这里 $r$ 是复数的模，$\theta$ 是复数的幅角。
步骤 2：计算每个复数的模和幅角
对于每个复数，首先计算其模 $r$ 和幅角 $\theta$。然后根据步骤 1 的公式计算其 $n$ 次根。
步骤 3：确定单根
单根是指在 $n$ 次根中，不同的根。对于每个复数，根据步骤 2 的结果，确定其单根。
步骤 4：几何意义
每个复数的 $n$ 次根在复平面上形成一个圆，圆心在原点，半径为 $r^{1/n}$。这些根均匀分布在圆周上，形成一个正 $n$ 边形的顶点。
对于复数 $z = re^{i\theta}$，其 $n$ 次根为 $z^{1/n} = r^{1/n}e^{i(\theta + 2k\pi)/n}$，其中 $k = 0, 1, 2, ..., n-1$。这里 $r$ 是复数的模，$\theta$ 是复数的幅角。
步骤 2：计算每个复数的模和幅角
对于每个复数，首先计算其模 $r$ 和幅角 $\theta$。然后根据步骤 1 的公式计算其 $n$ 次根。
步骤 3：确定单根
单根是指在 $n$ 次根中，不同的根。对于每个复数，根据步骤 2 的结果，确定其单根。
步骤 4：几何意义
每个复数的 $n$ 次根在复平面上形成一个圆，圆心在原点，半径为 $r^{1/n}$。这些根均匀分布在圆周上，形成一个正 $n$ 边形的顶点。