题目

若a,b,c均为正数,且a+b+c=10, 则dfrac (1)(a)+dfrac (1)(b)+dfrac (1)(c)的最小值为( )A 1 B dfrac (1)(a)+dfrac (1)(b)+dfrac (1)(c)C dfrac (1)(a)+dfrac (1)(b)+dfrac (1)(c) D dfrac (1)(a)+dfrac (1)(b)+dfrac (1)(c)

若a,b,c均为正数,且a+b+c=10, 则的最小值为( )

A 1 

B 

C  

D 

题目解答

答案

首先，由于a, b, c均为正数，且a + b + c = 10，我们可以考虑利用基本不等式（AM-GM不等式）来求解。

考虑表达式：

为了利用a + b + c = 10，我们可以将上式与a + b + c相乘并除以10，得到：

展开后得到：

接下来，我们利用基本不等式（AM-GM不等式）：

同理，

和

将这三个不等式代入之前的表达式，得到：

由于基本不等式取等号的条件是各项相等，即a = b = c，且已知a + b + c = 10，所以时，上述不等式取等号。

因此，的最小值为  

故答案为：B.

解析

步骤 1：利用基本不等式（AM-GM不等式）
由于a, b, c均为正数，且a + b + c = 10，我们可以考虑利用基本不等式（AM-GM不等式）来求解。基本不等式表明，对于任意正数x和y，有$\dfrac{x+y}{2} \geq \sqrt{xy}$，等号成立当且仅当x = y。

步骤 2：构造表达式
考虑表达式$\dfrac {1}{a}+\dfrac {1}{b}+\dfrac {1}{c}$，为了利用a + b + c = 10，我们可以将上式与a + b + c相乘并除以10，得到：
$\dfrac {1}{a}+\dfrac {1}{b}+\dfrac {1}{c}=\dfrac {1}{10}\times (\dfrac {1}{a}+\dfrac {1}{b}+\dfrac {1}{c})(a+b+c)$
展开后得到：
$\dfrac {1}{10}\times (3+\dfrac {b}{a}+\dfrac {a}{b}+\dfrac {c}{a}+\dfrac {a}{c}+\dfrac {c}{b}+\dfrac {b}{c})$

步骤 3：应用基本不等式
接下来，我们利用基本不等式（AM-GM不等式）：
$\dfrac {b+a}{2}\geqslant \sqrt {\dfrac {b}{a}\times \dfrac {a}{b}}=1\Longrightarrow \dfrac {b}{a}+\dfrac {a}{b}\geqslant 2$
同理，
$\dfrac {c}{a}+\dfrac {a}{c}\geqslant 1\Longrightarrow \dfrac {c}{a}+\dfrac {a}{c}\geqslant 2$
和
$\dfrac {a+b}{2}\geqslant 1\Longrightarrow \dfrac {c}{b}+\dfrac {b}{c}\geqslant 2$
将这三个不等式代入之前的表达式，得到：
$\dfrac {1}{10}\times (3+2+2+2)=\dfrac {1}{10}\times 9=\dfrac {9}{10}$
由于基本不等式取等号的条件是各项相等，即a = b = c，且已知a + b + c = 10，所以$a=b=c=\dfrac {10}{3}$时，上述不等式取等号。