题目
某厂要用铁板造一个体积为32立方米的无盖长方体水箱，问当长、宽、高各取怎一样的尺寸时，才能使用料最省？
某厂要用铁板造一个体积为32立方米的无盖长方体水箱，问当长、宽、高各取怎一样的尺寸时，才能使用料最省？
题目解答
答案
长和宽各为4m，高为2m
解析
步骤 1：定义变量
设长方体水箱的长、宽、高分别为x、y、z（单位：米），则体积V = xyz = 32立方米。
步骤 2：建立目标函数
使用料最省即表面积最小。无盖长方体的表面积S = xy + 2xz + 2yz。
步骤 3：利用体积约束条件
由体积V = xyz = 32，得z = 32/(xy)。将z代入表面积公式，得S = xy + 2x(32/(xy)) + 2y(32/(xy)) = xy + 64/y + 64/x。
步骤 4：求导数
对S求x和y的偏导数，得∂S/∂x = y - 64/x^2，∂S/∂y = x - 64/y^2。
步骤 5：求极值
令∂S/∂x = 0，∂S/∂y = 0，得y = 64/x^2，x = 64/y^2。联立解得x = y = 4，z = 32/(xy) = 2。
步骤 6：验证极值
对S求二阶偏导数，得∂²S/∂x² = 128/x^3，∂²S/∂y² = 128/y^3，∂²S/∂x∂y = 1。计算Hessian矩阵的行列式，得D = (∂²S/∂x²)(∂²S/∂y²) - (∂²S/∂x∂y)^2 = 128/x^3 * 128/y^3 - 1 > 0，且∂²S/∂x² > 0，故S在x = y = 4处取得极小值。
设长方体水箱的长、宽、高分别为x、y、z（单位：米），则体积V = xyz = 32立方米。
步骤 2：建立目标函数
使用料最省即表面积最小。无盖长方体的表面积S = xy + 2xz + 2yz。
步骤 3：利用体积约束条件
由体积V = xyz = 32，得z = 32/(xy)。将z代入表面积公式，得S = xy + 2x(32/(xy)) + 2y(32/(xy)) = xy + 64/y + 64/x。
步骤 4：求导数
对S求x和y的偏导数，得∂S/∂x = y - 64/x^2，∂S/∂y = x - 64/y^2。
步骤 5：求极值
令∂S/∂x = 0，∂S/∂y = 0，得y = 64/x^2，x = 64/y^2。联立解得x = y = 4，z = 32/(xy) = 2。
步骤 6：验证极值
对S求二阶偏导数，得∂²S/∂x² = 128/x^3，∂²S/∂y² = 128/y^3，∂²S/∂x∂y = 1。计算Hessian矩阵的行列式，得D = (∂²S/∂x²)(∂²S/∂y²) - (∂²S/∂x∂y)^2 = 128/x^3 * 128/y^3 - 1 > 0，且∂²S/∂x² > 0，故S在x = y = 4处取得极小值。