2.设随机变量X的密度为-|||-f(x)= ) cx,0leqslant xleqslant 1 0, ;-|||-(4)X的分布函数F (x).

步骤 1：求常数c
根据概率密度函数的性质，整个定义域上的积分应等于1。因此，我们有：
$$
\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx = 1
$$
由于f(x)在x<0和x>1时为0，我们只需考虑0到1的积分：
$$
\int_{0}^{1} cx \, dx = 1
$$
步骤 2：计算积分
计算上述积分，得到：
$$
\frac{c}{2}x^2 \Big|_{0}^{1} = 1
$$
$$
\frac{c}{2} = 1
$$
$$
c = 2
$$
步骤 3：求 $P\{ 0.3\lt X\lt 0.7\} $
根据概率密度函数，计算0.3到0.7的积分：
$$
P\{ 0.3\lt X\lt 0.7\} = \int_{0.3}^{0.7} 2x \, dx
$$
$$
= x^2 \Big|_{0.3}^{0.7}
$$
$$
= 0.7^2 - 0.3^2
$$
$$
= 0.49 - 0.09
$$
$$
= 0.4
$$
步骤 4：求常数a，使 $P\{ X\gt a\} =P\{ X\lt a\} $
由于 $P\{ X\gt a\} + P\{ X\lt a\} = 1$，且 $P\{ X\gt a\} = P\{ X\lt a\}$，则有：
$$
P\{ X\lt a\} = \frac{1}{2}
$$
计算积分：
$$
\int_{0}^{a} 2x \, dx = \frac{1}{2}
$$
$$
x^2 \Big|_{0}^{a} = \frac{1}{2}
$$
$$
a^2 = \frac{1}{2}
$$
$$
a = \frac{1}{\sqrt{2}}
$$
步骤 5：求X的分布函数F(x)
根据概率密度函数，分布函数F(x)为：
$$
F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) \, dt
$$
当x<0时，F(x)=0；当0≤x<1时，F(x)为：
$$
F(x) = \int_{0}^{x} 2t \, dt = x^2
$$
当x≥1时，F(x)=1。因此，分布函数为：
$$
F(x) = \left \{ \begin{matrix} 0,\quad x\lt 0\\ x^2,\quad 0\leqslant x\lt 1\\ 1,\quad x\geqslant 1\end{matrix} \right.
$$