已知向量组 α1,α2,α3 线性无关 ,β1=α1+α2,β2=α2+α3,β3=α3+α1, 证明：向量组 β1,β2,β3 线性无关。

步骤 1：假设线性组合
假设存在一组数 k1, k2, k3 使得 k1β1 + k2β2 + k3β3 = 0。根据 β1, β2, β3 的定义，可以将这个等式写成关于 α1, α2, α3 的线性组合形式。
步骤 2：将 β1, β2, β3 用 α1, α2, α3 表示
将 β1, β2, β3 用 α1, α2, α3 表示，得到 (k1 + k3)α1 + (k1 + k2)α2 + (k2 + k3)α3 = 0。
步骤 3：利用线性无关的性质
由于向量组 α1, α2, α3 线性无关，所以系数必须满足 k1 + k3 = 0, k1 + k2 = 0, k2 + k3 = 0。
步骤 4：求解系数方程组
解方程组 k1 + k3 = 0, k1 + k2 = 0, k2 + k3 = 0，得到 k1 = k2 = k3 = 0。
步骤 5：结论
由于 k1 = k2 = k3 = 0 是唯一解，所以向量组 β1, β2, β3 线性无关。