题目
20 二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为-|||-f(x,y)= ) 4xy,0leqslant xleqslant 1,0leqslant yleqslant 1 0 .-|||-求 =x+y 的概率密度.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定 $z$ 的取值范围
$z = X + Y$，由于 $X$ 和 $Y$ 的取值范围都是 $[0, 1]$，所以 $z$ 的取值范围是 $[0, 2]$。
步骤 2：利用卷积公式求 $z$ 的概率密度
$z$ 的概率密度函数 $f_Z(z)$ 可以通过卷积公式求得：
$$f_Z(z) = \int_{-\infty}^{\infty} f_X(x) f_Y(z-x) dx$$
由于 $f(x,y) = 4xy$，所以 $f_X(x) = 4x$，$f_Y(y) = 4y$，但需要注意的是，$f_X(x)$ 和 $f_Y(y)$ 只在 $[0, 1]$ 上非零。
步骤 3：分段求解 $f_Z(z)$
- 当 $z \leq 0$ 或 $z \geq 2$ 时，$f_Z(z) = 0$。
- 当 $0 \leq z \leq 1$ 时，$f_Z(z) = \int_{0}^{z} 4x \cdot 4(z-x) dx = 16 \int_{0}^{z} x(z-x) dx = 16 \int_{0}^{z} (zx - x^2) dx = 16 \left[ \frac{zx^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{z} = 16 \left( \frac{z^3}{2} - \frac{z^3}{3} \right) = 16 \cdot \frac{z^3}{6} = \frac{8z^3}{3}$。
- 当 $1 < z < 2$ 时，$f_Z(z) = \int_{z-1}^{1} 4x \cdot 4(z-x) dx = 16 \int_{z-1}^{1} (zx - x^2) dx = 16 \left[ \frac{zx^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{z-1}^{1} = 16 \left( \frac{z}{2} - \frac{1}{3} - \frac{z(z-1)^2}{2} + \frac{(z-1)^3}{3} \right) = 16 \left( \frac{z}{2} - \frac{1}{3} - \frac{z(z^2 - 2z + 1)}{2} + \frac{z^3 - 3z^2 + 3z - 1}{3} \right) = 16 \left( \frac{z}{2} - \frac{1}{3} - \frac{z^3}{2} + z^2 - \frac{z}{2} + \frac{z^3}{3} - z^2 + z - \frac{1}{3} \right) = 16 \left( - \frac{z^3}{6} + z - \frac{2}{3} \right) = -\frac{8z^3}{3} + 16z - \frac{32}{3}$。
$z = X + Y$，由于 $X$ 和 $Y$ 的取值范围都是 $[0, 1]$，所以 $z$ 的取值范围是 $[0, 2]$。
步骤 2：利用卷积公式求 $z$ 的概率密度
$z$ 的概率密度函数 $f_Z(z)$ 可以通过卷积公式求得：
$$f_Z(z) = \int_{-\infty}^{\infty} f_X(x) f_Y(z-x) dx$$
由于 $f(x,y) = 4xy$，所以 $f_X(x) = 4x$，$f_Y(y) = 4y$，但需要注意的是，$f_X(x)$ 和 $f_Y(y)$ 只在 $[0, 1]$ 上非零。
步骤 3：分段求解 $f_Z(z)$
- 当 $z \leq 0$ 或 $z \geq 2$ 时，$f_Z(z) = 0$。
- 当 $0 \leq z \leq 1$ 时，$f_Z(z) = \int_{0}^{z} 4x \cdot 4(z-x) dx = 16 \int_{0}^{z} x(z-x) dx = 16 \int_{0}^{z} (zx - x^2) dx = 16 \left[ \frac{zx^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{z} = 16 \left( \frac{z^3}{2} - \frac{z^3}{3} \right) = 16 \cdot \frac{z^3}{6} = \frac{8z^3}{3}$。
- 当 $1 < z < 2$ 时，$f_Z(z) = \int_{z-1}^{1} 4x \cdot 4(z-x) dx = 16 \int_{z-1}^{1} (zx - x^2) dx = 16 \left[ \frac{zx^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{z-1}^{1} = 16 \left( \frac{z}{2} - \frac{1}{3} - \frac{z(z-1)^2}{2} + \frac{(z-1)^3}{3} \right) = 16 \left( \frac{z}{2} - \frac{1}{3} - \frac{z(z^2 - 2z + 1)}{2} + \frac{z^3 - 3z^2 + 3z - 1}{3} \right) = 16 \left( \frac{z}{2} - \frac{1}{3} - \frac{z^3}{2} + z^2 - \frac{z}{2} + \frac{z^3}{3} - z^2 + z - \frac{1}{3} \right) = 16 \left( - \frac{z^3}{6} + z - \frac{2}{3} \right) = -\frac{8z^3}{3} + 16z - \frac{32}{3}$。