题目
设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续,在开区间(0,1)内可导,且 f(0)=0 (1)=1,-|||-试证明:对于任意给定的正数a和b,在开区间(0,1)内存在不同的ξ和n,使得-|||-dfrac (a)(f'(xi ))+dfrac (b)(f'(n))=a+b
题目解答
答案
解析
步骤 1：应用介值定理
由于函数f(x)在闭区间[0,1]上连续，且f(0)=0, f(1)=1，根据介值定理，对于任意的$\mu \in (0,1)$，存在$C \in (0,1)$，使得$f(C) = \mu$。
步骤 2：应用拉格朗日中值定理
在区间[0,C]上应用拉格朗日中值定理，存在$\xi \in (0,C)$，使得$f'(\xi) = \frac{f(C) - f(0)}{C - 0} = \frac{\mu}{C}$。
在区间[C,1]上应用拉格朗日中值定理，存在$\eta \in (C,1)$，使得$f'(\eta) = \frac{f(1) - f(C)}{1 - C} = \frac{1 - \mu}{1 - C}$。
显然，$\xi \neq \eta$。
步骤 3：构造等式
取$\mu = \frac{a}{a+b}$，则$1 - \mu = \frac{b}{a+b}$，代入$f'(\xi)$和$f'(\eta)$的表达式，得到：
$\frac{a}{f'(\xi)} + \frac{b}{f'(\eta)} = \frac{a}{\frac{\mu}{C}} + \frac{b}{\frac{1 - \mu}{1 - C}} = \frac{aC}{\mu} + \frac{b(1 - C)}{1 - \mu} = \frac{aC}{\frac{a}{a+b}} + \frac{b(1 - C)}{\frac{b}{a+b}} = (a+b)C + (a+b)(1 - C) = a + b$。
由于函数f(x)在闭区间[0,1]上连续，且f(0)=0, f(1)=1，根据介值定理，对于任意的$\mu \in (0,1)$，存在$C \in (0,1)$，使得$f(C) = \mu$。
步骤 2：应用拉格朗日中值定理
在区间[0,C]上应用拉格朗日中值定理，存在$\xi \in (0,C)$，使得$f'(\xi) = \frac{f(C) - f(0)}{C - 0} = \frac{\mu}{C}$。
在区间[C,1]上应用拉格朗日中值定理，存在$\eta \in (C,1)$，使得$f'(\eta) = \frac{f(1) - f(C)}{1 - C} = \frac{1 - \mu}{1 - C}$。
显然，$\xi \neq \eta$。
步骤 3：构造等式
取$\mu = \frac{a}{a+b}$，则$1 - \mu = \frac{b}{a+b}$，代入$f'(\xi)$和$f'(\eta)$的表达式，得到：
$\frac{a}{f'(\xi)} + \frac{b}{f'(\eta)} = \frac{a}{\frac{\mu}{C}} + \frac{b}{\frac{1 - \mu}{1 - C}} = \frac{aC}{\mu} + \frac{b(1 - C)}{1 - \mu} = \frac{aC}{\frac{a}{a+b}} + \frac{b(1 - C)}{\frac{b}{a+b}} = (a+b)C + (a+b)(1 - C) = a + b$。