讨论函数f(x)= { ,xneq 0 0, x=0 .在x=0处的连续性与可导性

考查要点：本题主要考查分段函数在分段点处的连续性和可导性判断，需要掌握极限的计算、夹逼定理的应用，以及导数定义的理解。

解题核心思路：

1. 连续性：通过计算$\lim_{x \to 0} f(x)$，结合夹逼定理判断极限是否等于$f(0)$。
2. 可导性：利用导数定义，计算左右导数是否存在。若极限不存在，则函数不可导。

破题关键点：

• 连续性的关键在于利用$\sin(1/x)$有界性，结合$x \to 0$时$x$的无穷小性，通过夹逼定理求极限。
• 可导性的关键在于分析差商$\frac{f(x)-f(0)}{x}$的极限是否存在，需注意$\sin(1/x)$在$x \to 0$时的震荡特性。

连续性分析

1. 计算极限：当$x \neq 0$时，$f(x) = x \sin \frac{1}{x}$。
   • 由于$|\sin \frac{1}{x}| \leq 1$，故$|x \sin \frac{1}{x}| \leq |x|$。
   • 根据夹逼定理，$\lim_{x \to 0} (-|x|) = \lim_{x \to 0} |x| = 0$，因此：
     $\lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x} = 0.$
2. 比较极限与函数值：$f(0) = 0$，故$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$，函数在$x=0$处连续。

可导性分析

1. 导数定义：计算$f'(0)$：
   $f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x \sin \frac{1}{x}}{x} = \lim_{x \to 0} \sin \frac{1}{x}.$
2. 分析极限存在性：
   • 当$x \to 0$时，$\frac{1}{x}$趋于无穷大，$\sin \frac{1}{x}$在$[-1, 1]$之间无限震荡，极限不存在。
   • 因此，$f'(0)$不存在，函数在$x=0$处不可导。