题目

若f(x)= { , xneq 0 1, x=0 .，则不正确的是（）A f ( x ) 在 x = 0 处右连续B f ( x ) 在 x = 0 处左、右极限存在C f ( x ) 在 x = 0 处不连续D f ( x ) 在 x = 0 处左连续

若 $f(x)=\begin{cases} \frac{sinx}{|x|}, & \text{ } x\ne 0 \\ 1,& \text{ } x=0 \end{cases}$ ，则不正确的是（）

A f ( x ) 在 x = 0 处右连续

B f ( x ) 在 x = 0 处左、右极限存在

C f ( x ) 在 x = 0 处不连续

D f ( x ) 在 x = 0 处左连续

题目解答

函数f(x)在x=0处的左极限为

$\lim_{x\rightarrow0^-}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow0^-}\frac{\sin x}{\left|x\right|}$

$=\lim_{x\rightarrow0^-}\frac{\sin x}{-x}=-1$

函数f(x)在x=0处的右极限为

$\lim_{x\rightarrow0^+}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow0^+}\frac{\sin x}{\left|x\right|}$

$=\lim_{x\rightarrow0^+}\frac{\sin x}{x}=1$

则f ( x ) 在 x = 0 处左、右极限存在，B对

函数f(x)在x=0处的函数值为1

因为函数f(x)在x=0处左右极限存在但不满足都等于该点处的函数值，则函数在x=0处不连续，C对。

因为函数在x=0处的右极限存在且等于该点的函数值，则函数在该点右连续，A对。

因为函数在x=0处的左极限存在但不等于该点的函数值，则函数在x=0处左连续是错误的，即D错。

所以选择D

本题考查函数在某点的连续性及左、右连续的判断，核心在于理解左极限、右极限、函数值之间的关系。解题关键点：

通过计算左右极限和比较函数值，即可判断各选项的正确性。

步骤1：计算左极限

当$x \to 0^-$时，$|x| = -x$，因此：
$\lim_{x \to 0^-} \frac{\sin x}{|x|} = \lim_{x \to 0^-} \frac{\sin x}{-x} = -\lim_{x \to 0^-} \frac{\sin x}{x} = -1$

步骤2：计算右极限

当$x \to 0^+$时，$|x| = x$，因此：
$\lim_{x \to 0^+} \frac{\sin x}{|x|} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sin x}{x} = 1$

步骤3：分析函数值

题目中给出$f(0) = 1$。

步骤4：判断选项