21、已知X~N(0,1)，求Y=2X+1的概率密度f(y)。

考查要点：本题主要考查正态分布的线性变换性质及概率密度函数的求解方法。

解题核心思路：

1. 正态分布的线性性质：若随机变量$X \sim N(\mu, \sigma^2)$，则线性变换$Y = aX + b$仍服从正态分布，其均值和方差分别为$\mu_Y = a\mu + b$，$\sigma_Y^2 = a^2 \sigma^2$。
2. 概率密度函数形式：根据正态分布的均值和方差，直接代入标准正态分布的密度函数形式即可。

破题关键点：

• 确定新分布的参数：通过线性变换系数计算均值和方差。
• 代入正态分布公式：将计算出的均值和标准差代入概率密度函数的标准表达式。

已知$X \sim N(0,1)$，对$Y = 2X + 1$进行线性变换：

1. 计算均值：
   $\mu_Y = 2 \cdot \mu_X + 1 = 2 \cdot 0 + 1 = 1$

2. 计算方差：
   $\sigma_Y^2 = 2^2 \cdot \sigma_X^2 = 4 \cdot 1 = 4 \quad \Rightarrow \quad \sigma_Y = 2$

3. 概率密度函数：
   正态分布$N(\mu_Y, \sigma_Y^2)$的概率密度函数为：
   $f_Y(y) = \frac{1}{\sigma_Y \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(y-\mu_Y)^2}{2\sigma_Y^2}}$
   代入$\mu_Y = 1$和$\sigma_Y = 2$：
   $f_Y(y) = \frac{1}{2 \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(y-1)^2}{8}}$