题目
设A,B均为n阶矩阵，且A,B，则必有( ).A,BA,BA,BA,B
设
均为n阶矩阵，且
，则必有( ).
题目解答
答案
需要知道：
矩阵乘法是不满足交换律的；
矩阵的乘法满足结合律。
已知均为n阶矩阵，
由于：
根据且，进而得出答案。
故
故可得：
.
故正确答案为：D
解析
步骤 1：矩阵乘法的性质
矩阵乘法不满足交换律，即一般情况下$AB \neq BA$。但是矩阵乘法满足结合律，即$(AB)C = A(BC)$。
步骤 2：应用结合律
根据题目条件${(AB)}^{2}={A}^{2}{B}^{2}$，可以写成$(AB)(AB) = A(AB)B$。根据矩阵乘法的结合律，可以进一步写成$A(BA)B = A(AB)B$。
步骤 3：推导结论
由于矩阵乘法满足结合律，我们可以从$A(BA)B = A(AB)B$中推导出$BA = AB$。这是因为矩阵乘法的结合律允许我们把矩阵乘法中的括号去掉，而矩阵乘法的不交换性意味着只有当$BA = AB$时，上述等式才成立。
矩阵乘法不满足交换律，即一般情况下$AB \neq BA$。但是矩阵乘法满足结合律，即$(AB)C = A(BC)$。
步骤 2：应用结合律
根据题目条件${(AB)}^{2}={A}^{2}{B}^{2}$，可以写成$(AB)(AB) = A(AB)B$。根据矩阵乘法的结合律，可以进一步写成$A(BA)B = A(AB)B$。
步骤 3：推导结论
由于矩阵乘法满足结合律，我们可以从$A(BA)B = A(AB)B$中推导出$BA = AB$。这是因为矩阵乘法的结合律允许我们把矩阵乘法中的括号去掉，而矩阵乘法的不交换性意味着只有当$BA = AB$时，上述等式才成立。