题目
lim _(xarrow infty )3x-(x)^2ln (1+dfrac (3)(x))
题目解答
答案
解析
步骤 1：变量替换
令 $x = \frac{1}{t}$，则当 $x \rightarrow \infty$ 时，$t \rightarrow 0^+$。原式变为：
$$\lim _{t\rightarrow 0^+} \frac{3}{t} - \frac{1}{t^2} \ln (1 + 3t)$$
步骤 2：化简表达式
将表达式通分，得到：
$$\lim _{t\rightarrow 0^+} \frac{3t - \ln (1 + 3t)}{t^2}$$
步骤 3：应用洛必达法则
由于分子和分母在 $t \rightarrow 0^+$ 时都趋于0，可以应用洛必达法则：
$$\lim _{t\rightarrow 0^+} \frac{3 - \frac{3}{1 + 3t}}{2t}$$
化简得到：
$$\lim _{t\rightarrow 0^+} \frac{3(1 + 3t) - 3}{2t(1 + 3t)} = \lim _{t\rightarrow 0^+} \frac{9t}{2t(1 + 3t)} = \lim _{t\rightarrow 0^+} \frac{9}{2(1 + 3t)}$$
步骤 4：计算极限
当 $t \rightarrow 0^+$ 时，$1 + 3t \rightarrow 1$，因此：
$$\lim _{t\rightarrow 0^+} \frac{9}{2(1 + 3t)} = \frac{9}{2}$$
令 $x = \frac{1}{t}$，则当 $x \rightarrow \infty$ 时，$t \rightarrow 0^+$。原式变为：
$$\lim _{t\rightarrow 0^+} \frac{3}{t} - \frac{1}{t^2} \ln (1 + 3t)$$
步骤 2：化简表达式
将表达式通分，得到：
$$\lim _{t\rightarrow 0^+} \frac{3t - \ln (1 + 3t)}{t^2}$$
步骤 3：应用洛必达法则
由于分子和分母在 $t \rightarrow 0^+$ 时都趋于0，可以应用洛必达法则：
$$\lim _{t\rightarrow 0^+} \frac{3 - \frac{3}{1 + 3t}}{2t}$$
化简得到：
$$\lim _{t\rightarrow 0^+} \frac{3(1 + 3t) - 3}{2t(1 + 3t)} = \lim _{t\rightarrow 0^+} \frac{9t}{2t(1 + 3t)} = \lim _{t\rightarrow 0^+} \frac{9}{2(1 + 3t)}$$
步骤 4：计算极限
当 $t \rightarrow 0^+$ 时，$1 + 3t \rightarrow 1$，因此：
$$\lim _{t\rightarrow 0^+} \frac{9}{2(1 + 3t)} = \frac{9}{2}$$