题目
已知函数 z=f(x,y) 连续且满足 lim _(xarrow 1)dfrac (f(x,y)-x+2y+2)(sqrt {{(x-1))^2+(y)^2}}=0 则-|||-lim _(tarrow 0)dfrac (f(1+t,0)-f(1,2t))(t)= __
题目解答
答案
解析
步骤 1：理解给定的极限条件
给定条件 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(x,y)-x+2y+2}{\sqrt {{(x-1)}^{2}+{y}^{2}}}=0$ 表明当 $(x,y)$ 接近 $(1,0)$ 时，$f(x,y)$ 的值与 $x-2y-2$ 的值非常接近，即 $f(x,y)$ 可以表示为 $x-2y-2$ 加上一个与 $\sqrt{(x-1)^2+y^2}$ 同阶的小量。
步骤 2：利用极限条件求解 $f(1,0)$
将 $(x,y)$ 代入 $(1,0)$，得到 $f(1,0)-1+2*0+2=0$，即 $f(1,0)=-1$。
步骤 3：利用极限条件求解 $f(1,2t)$
将 $(x,y)$ 代入 $(1,2t)$，得到 $f(1,2t)-1+2*2t+2=0$，即 $f(1,2t)=-4t-1$。
步骤 4：计算 $\lim _{t\rightarrow 0}\dfrac {f(1+t,0)-f(1,2t)}{t}$
将 $f(1+t,0)$ 和 $f(1,2t)$ 的表达式代入，得到 $\lim _{t\rightarrow 0}\dfrac {f(1+t,0)-f(1,2t)}{t}=\lim _{t\rightarrow 0}\dfrac {(1+t-2*0-2)-(-4t-1)}{t}=\lim _{t\rightarrow 0}\dfrac {5t}{t}=5$。
给定条件 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(x,y)-x+2y+2}{\sqrt {{(x-1)}^{2}+{y}^{2}}}=0$ 表明当 $(x,y)$ 接近 $(1,0)$ 时，$f(x,y)$ 的值与 $x-2y-2$ 的值非常接近，即 $f(x,y)$ 可以表示为 $x-2y-2$ 加上一个与 $\sqrt{(x-1)^2+y^2}$ 同阶的小量。
步骤 2：利用极限条件求解 $f(1,0)$
将 $(x,y)$ 代入 $(1,0)$，得到 $f(1,0)-1+2*0+2=0$，即 $f(1,0)=-1$。
步骤 3：利用极限条件求解 $f(1,2t)$
将 $(x,y)$ 代入 $(1,2t)$，得到 $f(1,2t)-1+2*2t+2=0$，即 $f(1,2t)=-4t-1$。
步骤 4：计算 $\lim _{t\rightarrow 0}\dfrac {f(1+t,0)-f(1,2t)}{t}$
将 $f(1+t,0)$ 和 $f(1,2t)$ 的表达式代入，得到 $\lim _{t\rightarrow 0}\dfrac {f(1+t,0)-f(1,2t)}{t}=\lim _{t\rightarrow 0}\dfrac {(1+t-2*0-2)-(-4t-1)}{t}=\lim _{t\rightarrow 0}\dfrac {5t}{t}=5$。