【例2】f(x)是R上的奇函数，则sin f(x)+ln(sqrt(1+x^2)-x)在R上是(A. 奇函数B. 偶函数C. 非奇非偶函数D. 无法判断

考查要点：本题主要考查奇函数的定义及性质，以及复合函数奇偶性的判断方法。
解题核心思路：

1. 利用奇函数的定义，将函数$g(-x)$展开，结合$f(x)$为奇函数的条件进行变形。
2. 分析各组成部分的奇偶性：
   • $\sin f(x)$部分通过正弦函数的奇性简化；
   • $\ln(\sqrt{1+x^2} - x)$部分通过代数变形和对数性质简化。
3. 综合两部分结果，判断$g(-x)$与$g(x)$的关系，确定$g(x)$的奇偶性。

设$g(x) = \sin f(x) + \ln(\sqrt{1+x^2} - x)$，需判断$g(x)$的奇偶性。

步骤1：计算$g(-x)$

$\begin{aligned}g(-x) &= \sin f(-x) + \ln\left(\sqrt{1+(-x)^2} - (-x)\right) \\&= \sin(-f(x)) + \ln\left(\sqrt{1+x^2} + x\right) \quad \text{（因$f(x)$是奇函数）}\end{aligned}$

步骤2：简化各部分

1. 正弦部分：
   $\sin(-f(x)) = -\sin f(x)$（正弦函数是奇函数）。

2. 对数部分：
   观察$\sqrt{1+x^2} + x$与$\sqrt{1+x^2} - x$的关系：
   $(\sqrt{1+x^2} + x)(\sqrt{1+x^2} - x) = 1 \implies \sqrt{1+x^2} + x = \frac{1}{\sqrt{1+x^2} - x}$
   因此：
   $\ln\left(\sqrt{1+x^2} + x\right) = \ln\left(\frac{1}{\sqrt{1+x^2} - x}\right) = -\ln\left(\sqrt{1+x^2} - x\right)$

步骤3：综合结果

将简化后的两部分代入$g(-x)$：
$g(-x) = -\sin f(x) - \ln\left(\sqrt{1+x^2} - x\right) = -\left[\sin f(x) + \ln\left(\sqrt{1+x^2} - x\right)\right] = -g(x)$
因此，$g(x)$是奇函数。