注 类似地，可以求极限lim_(xto+infty)((1)/(x)cdot(a^x-1)/(a-1))^(1)/(x)(a>0,aneq1).

为了求极限 $\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{1}{x}\cdot\frac{a^x-1}{a-1}\right)^{\frac{1}{x}}$，其中 $a > 0$ 且 $a \neq 1$，我们首先设 $L$ 为该极限的值。即， \[ L = \lim_{x\to+\infty}\left(\frac{1}{x}\cdot\frac{a^x-1}{a-1}\right)^{\frac{1}{x}}. \] 为了简化表达式，我们对两边取自然对数： \[ \ln L = \ln \left( \lim_{x\to+\infty}\left(\frac{1}{x}\cdot\frac{a^x-1}{a-1}\right)^{\frac{1}{x}} \right). \] 由于自然对数函数是连续的，我们可以将极限和对数交换： \[ \ln L = \lim_{x\to+\infty} \ln \left( \left(\frac{1}{x}\cdot\frac{a^x-1}{a-1}\right)^{\frac{1}{x}} \right). \] 利用对数的性质 $\ln(x^y) = y \ln x$，我们得到： \[ \ln L = \lim_{x\to+\infty} \frac{1}{x} \ln \left( \frac{1}{x}\cdot\frac{a^x-1}{a-1} \right). \] 接下来，我们利用对数的性质 $\ln(xy) = \ln x + \ln y$ 来进一步简化对数内的表达式： \[ \ln L = \lim_{x\to+\infty} \frac{1}{x} \left( \ln \left( \frac{1}{x} \right) + \ln \left( \frac{a^x-1}{a-1} \right) \right). \] 这可以写为： \[ \ln L = \lim_{x\to+\infty} \frac{1}{x} \left( -\ln x + \ln (a^x-1) - \ln (a-1) \right). \] 我们可以将这个极限分成三个独立的极限： \[ \ln L = \lim_{x\to+\infty} \left( -\frac{\ln x}{x} \right) + \lim_{x\to+\infty} \frac{\ln (a^x-1)}{x} - \lim_{x\to+\infty} \frac{\ln (a-1)}{x}. \] 第一项 $\lim_{x\to+\infty} -\frac{\ln x}{x}$ 等于 0，因为 $\ln x$ 的增长速度远慢于 $x$。第三项 $\lim_{x\to+\infty} \frac{\ln (a-1)}{x}$ 也等于 0，因为 $\ln (a-1)$ 是一个常数。因此，我们有： \[ \ln L = 0 + \lim_{x\to+\infty} \frac{\ln (a^x-1)}{x} - 0 = \lim_{x\to+\infty} \frac{\ln (a^x-1)}{x}. \] 为了求 $\lim_{x\to+\infty} \frac{\ln (a^x-1)}{x}$，我们可以使用洛必达法则，该法则指出如果极限 $\lim_{x\to+\infty} \frac{f(x)}{g(x)}$ 的形式为 $\frac{\infty}{\infty}$，那么它等于 $\lim_{x\to+\infty} \frac{f'(x)}{g'(x)}$。这里，$f(x) = \ln (a^x-1)$ 和 $g(x) = x$，所以： \[ \lim_{x\to+\infty} \frac{\ln (a^x-1)}{x} = \lim_{x\to+\infty} \frac{\frac{d}{dx} \ln (a^x-1)}{\frac{d}{dx} x} = \lim_{x\to+\infty} \frac{\frac{a^x \ln a}{a^x-1}}{1} = \lim_{x\to+\infty} \frac{a^x \ln a}{a^x-1}. \] 当 $x \to +\infty$ 时，$a^x \to +\infty$，所以： \[ \lim_{x\to+\infty} \frac{a^x \ln a}{a^x-1} = \lim_{x\to+\infty} \frac{\ln a}{1 - \frac{1}{a^x}} = \ln a. \] 因此，我们有： \[ \ln L = \ln a. \] 对两边取指数，我们得到： \[ L = a. \] 所以，极限是： \[ \boxed{a}. \]