题目
求通过点(1,2)的曲线方程,使曲线上任意点处切线与原点的距离等于该点横坐标的绝对值.
求通过点
的曲线方程,使曲线上任意点处切线与原点的距离等于该点横坐标的绝对值.
题目解答
答案
曲线在(a,y(a))处的切线方程为
它与原点的距离
平方,得：
将a换成x,则得：
令
,则
积分：
代入点,得：
,得
所以曲线方程为
它与原点的距离
平方,得：
将a换成x,则得：
令
,则积分：
代入点
,得：,得所以曲线方程为
解析
步骤 1：确定切线方程
曲线在点(a,y(a))处的切线方程为y=y'(a)(x-a)+y(a)。
步骤 2：计算切线与原点的距离
切线与原点的距离$=|-ay'(a)|y+|(x)|=|a|$。
步骤 3：平方并整理方程
平方，得：${a}^{2}{y}^{2}+{y}^{2}-2ayy={a}^{2}(1+{y}^{2})$。
$2ayy={y}^{2}-{a}^{2}$。
步骤 4：将a换成x
将a换成x，得：$2xyy'={y}^{2}-{x}^{2}$。
步骤 5：引入变量u
令y=xu,则y'=u+xu'。
$2{x}^{2}u(u+xu')={x}^{2}{u}^{2}-{x}^{2}$。
$xu'=\dfrac {-1-{u}^{2}}{2u}$。
步骤 6：分离变量并积分
$\dfrac {2udu}{1+{u}^{2}}=-\dfrac {dx}{x}$。
$d\dfrac {{u}^{2}}{1+{u}^{2}}=-\dfrac {dx}{x}$。
积分：$\ln (1+{u}^{2})=-\ln |x|+{C}_{1}$。
$1+{u}^{2}=\dfrac {C}{x}$。
$1+\dfrac {{y}^{2}}{{x}^{2}}=\dfrac {C}{x}$。
${x}^{2}+{y}^{2}-Cx=0$。
步骤 7：代入点(1,2)
代入点(1,2),得：1+4-C=0,得C=5。
曲线在点(a,y(a))处的切线方程为y=y'(a)(x-a)+y(a)。
步骤 2：计算切线与原点的距离
切线与原点的距离$=|-ay'(a)|y+|(x)|=|a|$。
步骤 3：平方并整理方程
平方，得：${a}^{2}{y}^{2}+{y}^{2}-2ayy={a}^{2}(1+{y}^{2})$。
$2ayy={y}^{2}-{a}^{2}$。
步骤 4：将a换成x
将a换成x，得：$2xyy'={y}^{2}-{x}^{2}$。
步骤 5：引入变量u
令y=xu,则y'=u+xu'。
$2{x}^{2}u(u+xu')={x}^{2}{u}^{2}-{x}^{2}$。
$xu'=\dfrac {-1-{u}^{2}}{2u}$。
步骤 6：分离变量并积分
$\dfrac {2udu}{1+{u}^{2}}=-\dfrac {dx}{x}$。
$d\dfrac {{u}^{2}}{1+{u}^{2}}=-\dfrac {dx}{x}$。
积分：$\ln (1+{u}^{2})=-\ln |x|+{C}_{1}$。
$1+{u}^{2}=\dfrac {C}{x}$。
$1+\dfrac {{y}^{2}}{{x}^{2}}=\dfrac {C}{x}$。
${x}^{2}+{y}^{2}-Cx=0$。
步骤 7：代入点(1,2)
代入点(1,2),得：1+4-C=0,得C=5。