题目
设了为球面了,则极限了(A) 了(B)了(C)了(D)了
设
为球面
,则极限
(A) 
(B)
(C)
(D)
题目解答
答案
答案：选C
由题意，已知
为球面
∴
故，C选项正确，A、B、D错误
解析
步骤 1：理解题目
题目要求计算球面${x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}={R}^{2}$上的积分$\iint \cos ({x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2})dS$，并求其与${R}^{2}$的比值在$R$趋于0时的极限。
步骤 2：积分计算
由于球面上的点满足${x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}={R}^{2}$，所以积分中的$\cos ({x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2})$可以替换为$\cos {R}^{2}$。因此，积分变为$\iint \cos {R}^{2}dS$。由于$\cos {R}^{2}$是常数，可以提出积分号外，得到$\cos {R}^{2}\iint dS$。积分$\iint dS$是球面的表面积，即$4\pi {R}^{2}$。
步骤 3：求极限
将积分结果代入原式，得到$\lim _{R\rightarrow 0}\dfrac {1}{{R}^{2}}\cos {R}^{2}\times 4\pi {R}^{2}$。由于$\cos {R}^{2}$在$R$趋于0时趋于$\cos 0=1$，所以极限变为$\lim _{R\rightarrow 0}\dfrac {1}{{R}^{2}}\times 4\pi {R}^{2}=4\pi$。
题目要求计算球面${x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}={R}^{2}$上的积分$\iint \cos ({x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2})dS$，并求其与${R}^{2}$的比值在$R$趋于0时的极限。
步骤 2：积分计算
由于球面上的点满足${x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}={R}^{2}$，所以积分中的$\cos ({x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2})$可以替换为$\cos {R}^{2}$。因此，积分变为$\iint \cos {R}^{2}dS$。由于$\cos {R}^{2}$是常数，可以提出积分号外，得到$\cos {R}^{2}\iint dS$。积分$\iint dS$是球面的表面积，即$4\pi {R}^{2}$。
步骤 3：求极限
将积分结果代入原式，得到$\lim _{R\rightarrow 0}\dfrac {1}{{R}^{2}}\cos {R}^{2}\times 4\pi {R}^{2}$。由于$\cos {R}^{2}$在$R$趋于0时趋于$\cos 0=1$，所以极限变为$\lim _{R\rightarrow 0}\dfrac {1}{{R}^{2}}\times 4\pi {R}^{2}=4\pi$。